Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas x = t^2 e y = t^3
Mostre que C tem duas tangentes no ponto ( 0,0 ) e encontre suas equações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma curva definida pelas equações paramétricas e . O conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo, especificamente sobre derivadas e tangentes. Precisamos provar que a curva tem duas tangentes no ponto e encontrar as equações dessas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Elas nos dão e em função de um parâmetro . No nosso caso:
Isso significa que, para cada valor de , temos um ponto na curva .

Passo 3

Para encontrar as tangentes à curva no ponto , precisamos calcular a derivada nesse ponto. A derivada nos dá a inclinação da tangente.

Passo 4

Calculamos e :
Então, a derivada fica:

Passo 5

Agora, queremos a inclinação da tangente em . Vamos avaliar o limite de quando se aproxima de 0:
Isso sugere que uma das tangentes tem inclinação 0, ou seja, é uma reta horizontal.

Passo 6

No entanto, precisamos verificar se há outra tangente. Observamos que quando se aproxima de 0 por valores positivos e negativos, pode afetar a direção da curva.

Passo 7

Para encontrar a outra tangente, vamos expressar em função de . Sabemos que , então ou . Substituindo em :
Essas duas expressões indicam que a curva se comporta de duas maneiras diferentes perto de , sugerindo a existência de duas tangentes.

Passo 8

Vamos considerar a equação geral da reta tangente:
Como a tangente passa por , , então:
Sabemos que uma das tangentes tem , então sua equação é .

Passo 9

Para encontrar a outra tangente, observamos o comportamento da curva. Quando se aproxima de 0, a derivada tende a 0, mas precisamos considerar a direção da curva.
Na verdade, ao analisar a curva versus , percebemos que para cada valor positivo e negativo de , a curva se aproxima de de direções diferentes, indicando outra tangente vertical.

Passo 10

Entretanto, uma reta vertical teria uma equação do tipo , mas como no ponto de tangência, a equação da segunda tangente é .

Resposta

As duas tangentes à curva no ponto são:

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Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas x = t^2 e y = t^3
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Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas x = t^2 e y = t^3
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Considere a curva de equações paramétricas x = 2 cos(theta) e y = 3 sen(theta). Note que esta curva está sobre uma elipse.
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