Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas
e
Mostre que
tem duas tangentes no ponto ( 0,0 ) e encontre suas equações.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma curva
definida pelas equações paramétricas
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo, especificamente sobre derivadas e tangentes. Precisamos provar que a curva
tem duas tangentes no ponto
e encontrar as equações dessas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Elas nos dão
e
em função de um parâmetro
. No nosso caso:
Isso significa que, para cada valor de
, temos um ponto na curva
.
Passo 3
Para encontrar as tangentes à curva no ponto
, precisamos calcular a derivada
nesse ponto. A derivada nos dá a inclinação da tangente.
Passo 4
Calculamos
e
:
Então, a derivada
fica:
Passo 5
Agora, queremos a inclinação da tangente em
. Vamos avaliar o limite de
quando
se aproxima de 0:
Isso sugere que uma das tangentes tem inclinação 0, ou seja, é uma reta horizontal.
Passo 6
No entanto, precisamos verificar se há outra tangente. Observamos que quando
se aproxima de 0 por valores positivos e negativos,
pode afetar a direção da curva.
Passo 7
Para encontrar a outra tangente, vamos expressar
em função de
. Sabemos que
, então
ou
. Substituindo em
:
Essas duas expressões indicam que a curva se comporta de duas maneiras diferentes perto de
, sugerindo a existência de duas tangentes.
Passo 8
Vamos considerar a equação geral da reta tangente:
Como a tangente passa por
,
, então:
Sabemos que uma das tangentes tem
, então sua equação é
.
Passo 9
Para encontrar a outra tangente, observamos o comportamento da curva. Quando
se aproxima de 0, a derivada
tende a 0, mas precisamos considerar a direção da curva.
Na verdade, ao analisar a curva
versus
, percebemos que para cada valor positivo e negativo de
, a curva se aproxima de
de direções diferentes, indicando outra tangente vertical.
Passo 10
Entretanto, uma reta vertical teria uma equação do tipo
, mas como
no ponto de tangência, a equação da segunda tangente é
.
Resposta
As duas tangentes à curva
no ponto
são:
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Considere a curva de equações paramétricas
e
. Note que esta curva está sobre uma elipse.
Descreva o movimento de uma partícula com posição dada acima, com
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Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas
e
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