Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas x = t^2 e y = t^3
Encontre as equações da reta tangente à curva x = t^2, y = t^3 que passam pelo ponto (4,8)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida pelas equações paramétricas e . O objetivo é encontrar as equações das retas tangentes a essa curva que passam pelo ponto .
Conteúdo envolvido:
  • Equações paramétricas de curvas
  • Derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente
  • Equação da reta
  • Resolução de equações para encontrar os pontos de tangência

Passo 2

Para encontrar a reta tangente à curva em um ponto qualquer, precisamos primeiro determinar a inclinação dessa reta. A inclinação da reta tangente pode ser encontrada usando a derivada das funções paramétricas.
Vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Agora, a inclinação da reta tangente é dada por:

Passo 3

Sabendo a inclinação da reta tangente, podemos escrever a equação da reta tangente que passa pelo ponto :
Substituindo os valores:

Passo 4

Queremos que essa reta tangente passe pelo ponto . Então, substituímos e na equação da reta:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :
çã

Passo 6

Agora, vamos reunir todos os termos em um lado da equação:

Passo 7

Precisamos resolver a equação cúbica . Vamos tentar encontrar raízes racionais possíveis testando valores que satisfaçam a equação.
Testando :
Portanto, é uma raiz.

Passo 8

Fatorando a equação cúbica usando :
Agora, resolvemos a equação quadrática :
Assim, as raízes são e .

Passo 9

Agora, temos dois valores de que correspondem aos pontos de tangência:
  1. Para :
    • Ponto na curva:
    • Inclinação:
    • Equação da reta: que simplifica para
  2. Para :
    • Ponto na curva:
    • Inclinação:
    • Equação da reta: que simplifica para

Resposta

As equações das retas tangentes à curva que passam pelo ponto são:

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