Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas
e
Encontre as equações da reta tangente à curva
que passam pelo ponto
Encontre as equações da reta tangente à curva
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida pelas equações paramétricas
e
. O objetivo é encontrar as equações das retas tangentes a essa curva que passam pelo ponto
.
Conteúdo envolvido:
- Equações paramétricas de curvas
- Derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente
- Equação da reta
- Resolução de equações para encontrar os pontos de tangência
Passo 2
Para encontrar a reta tangente à curva em um ponto qualquer, precisamos primeiro determinar a inclinação dessa reta. A inclinação da reta tangente pode ser encontrada usando a derivada das funções paramétricas.
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Agora, a inclinação
da reta tangente é dada por:
Passo 3
Sabendo a inclinação da reta tangente, podemos escrever a equação da reta tangente que passa pelo ponto
:
Substituindo os valores:
Passo 4
Queremos que essa reta tangente passe pelo ponto
. Então, substituímos
e
na equação da reta:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Passo 6
Agora, vamos reunir todos os termos em um lado da equação:
Passo 7
Precisamos resolver a equação cúbica
. Vamos tentar encontrar raízes racionais possíveis testando valores que satisfaçam a equação.
Testando
:
Portanto,
é uma raiz.
Passo 8
Fatorando a equação cúbica usando
:
Agora, resolvemos a equação quadrática
:
Assim, as raízes são
e
.
Passo 9
Agora, temos dois valores de
que correspondem aos pontos de tangência:
-
Para
: - Ponto na curva:
- Inclinação:
- Equação da reta:
que simplifica para
- Ponto na curva:
-
Para
: - Ponto na curva:
- Inclinação:
- Equação da reta:
que simplifica para
- Ponto na curva:
Resposta
As equações das retas tangentes à curva que passam pelo ponto
são:
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.
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e
. Note que esta curva está sobre uma elipse.
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Descreva o movimento de uma partícula com posição
Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas
e
Mostre que tem duas tangentes no ponto ( 0,0 ) e encontre suas equações.
Mostre que