Considere a curva de equações paramétricas x = 2 cos(theta) e y = 3 sen(theta). Note que esta curva está sobre uma elipse.
Calcule o comprimento de arco no intervalo 0 <= theta <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma curva definida pelas equações paramétricas e . Isso representa uma elipse. Nosso objetivo aqui é calcular o comprimento dessa curva (também conhecido como comprimento de arco) para o intervalo de que vai de 0 até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco para equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada. Se temos e , o comprimento de arco de até é dado por:
Isso significa que vamos precisar encontrar as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas e :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Para resolver essa integral, podemos fatorar um termo comum para simplificar:
Então, a integral fica:

Passo 6

Essa integral pode ser um pouco complicada para resolver analiticamente, pois envolve uma função que não se integra de forma simples. Nesse caso, podemos usar métodos numéricos para calcular uma aproximação do valor. Vamos usar uma calculadora ou software matemático para avaliar essa integral.

Passo 7

Calculando a integral numericamente, obtemos:

Resposta

O comprimento de arco da elipse no intervalo é aproximadamente 7.64 unidades.

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