Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas x = t^2 e y = t^3
Determine os pontos de C onde a tangente é hotizontal ou vertical.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pelas equações paramétricas e . Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos nessa curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma tangente ser horizontal ou vertical. A tangente é uma linha que toca a curva em um ponto específico e tem a mesma direção da curva naquele ponto.
  • Tangente Horizontal: A inclinação da tangente ( ) é igual a zero.
  • Tangente Vertical: A inclinação da tangente é indefinida, ou seja, o denominador da derivada é zero.

Passo 3

Para encontrar , usamos as derivadas em relação a :
Então, vamos primeiro calcular e .

Passo 4

Calculando as derivadas:
Agora, substituímos essas derivações na fórmula de :

Passo 5

Tangente Horizontal: Queremos quando .
Agora, encontramos o ponto correspondente substituindo nas equações paramétricas:
Então, o ponto é .

Passo 6

Tangente Vertical: Queremos quando e .
Mas, para , também temos . Isso significa que em , tanto quanto são zero, o que indica um ponto estacionário e não uma tangente vertical. Portanto, não há pontos com tangente vertical nessa curva.

Resposta

A única tangente horizontal na curva ocorre no ponto . Não existem pontos com tangente vertical nessa curva.

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