Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas
e
Determine os pontos de
onde a tangente é hotizontal ou vertical.
Determine os pontos de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva
definida pelas equações paramétricas
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos nessa curva onde a tangente é horizontal ou vertical. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma tangente ser horizontal ou vertical. A tangente é uma linha que toca a curva em um ponto específico e tem a mesma direção da curva naquele ponto.
- Tangente Horizontal: A inclinação da tangente (
) é igual a zero. - Tangente Vertical: A inclinação da tangente é indefinida, ou seja, o denominador da derivada é zero.
Passo 3
Para encontrar
, usamos as derivadas em relação a
:
Então, vamos primeiro calcular
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Agora, substituímos essas derivações na fórmula de
:
Passo 5
Tangente Horizontal: Queremos quando
.
Agora, encontramos o ponto correspondente substituindo
nas equações paramétricas:
Então, o ponto é
.
Passo 6
Tangente Vertical: Queremos quando
e
.
Mas, para
, também temos
. Isso significa que em
, tanto
quanto
são zero, o que indica um ponto estacionário e não uma tangente vertical. Portanto, não há pontos com tangente vertical nessa curva.
Resposta
A única tangente horizontal na curva
ocorre no ponto
. Não existem pontos com tangente vertical nessa curva.