Esboce a curva paramétrica e elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva. Indique a direção na qual a curva é traçada quando
aumenta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar uma curva paramétrica, eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana da curva e indicar a direção que a curva segue quando o parâmetro
(ou aqui,
) aumenta. A matéria que vamos usar envolve geometria analítica e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar as equações paramétricas que temos:
Aqui,
é o parâmetro. Para eliminar o
e encontrar a equação em termos de
e
, vamos relacionar essas duas equações.
Passo 3
Sabemos que
é o inverso de
, ou seja:
Como
, podemos substituir na equação de
:
Então, a equação cartesiana da curva é:
Passo 4
Agora, vamos esboçar a curva
. Essa é uma hipérbole com dois ramos: um no 1º quadrante (onde
e
são positivos) e outro no 3º quadrante (onde
e
são negativos).
Passo 5
Para indicar a direção em que a curva é traçada quando
aumenta, vamos analisar o comportamento de
e
conforme
varia.
-
Quando
vai de a : -
diminui de para . -
aumenta de para . - Isso significa que a curva se move do ponto
para cima, em direção ao ponto onde se aproxima de e vai para o infinito positivo.
-
-
Quando
vai de a : -
diminui de para . -
diminui de para . - Aqui, a curva se move do infinito positivo para o ponto
.
-
Portanto, a direção da curva é do 1º quadrante para o 3º quadrante conforme
aumenta de
a
.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
, e a curva é traçada do 1º para o 3º quadrante conforme
aumenta.
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e
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