Esboce a curva paramétrica e elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva. Indique a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
x = cos(theta), y = sec(theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar uma curva paramétrica, eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana da curva e indicar a direção que a curva segue quando o parâmetro t (ou aqui, theta) aumenta. A matéria que vamos usar envolve geometria analítica e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as equações paramétricas que temos:
Aqui, theta é o parâmetro. Para eliminar o theta e encontrar a equação em termos de x e y, vamos relacionar essas duas equações.

Passo 3

Sabemos que é o inverso de cos(theta), ou seja:
Como , podemos substituir na equação de y:
Então, a equação cartesiana da curva é:

Passo 4

Agora, vamos esboçar a curva . Essa é uma hipérbole com dois ramos: um no 1º quadrante (onde x e y são positivos) e outro no 3º quadrante (onde x e y são negativos).

Passo 5

Para indicar a direção em que a curva é traçada quando theta aumenta, vamos analisar o comportamento de x e y conforme theta varia.
  • Quando theta vai de 0 a pi / 2:
    • diminui de 1 para 0.
    • aumenta de 1 para +infinito.
    • Isso significa que a curva se move do ponto (1, 1) para cima, em direção ao ponto onde x se aproxima de 0 e y vai para o infinito positivo.
  • Quando theta vai de pi / 2 a pi:
    • diminui de 0 para -1.
    • diminui de +infinito para -1.
    • Aqui, a curva se move do infinito positivo para o ponto .
Portanto, a direção da curva é do 1º quadrante para o 3º quadrante conforme theta aumenta de 0 a pi.

Resposta

A equação cartesiana da curva é , e a curva é traçada do 1º para o 3º quadrante conforme theta aumenta.

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