Considere a curva de equações paramétricas
e
. Note que esta curva está sobre uma elipse.
Calcule a área delimitada por essa curva, considerando
.
Calcule a área delimitada por essa curva, considerando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pelas equações paramétricas
e
. Isso representa uma elipse. Nosso objetivo é calcular a área que essa curva delimita quando
varia de
a
. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de integrais para encontrar a área de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de uma curva definida parametricamente. A fórmula para a área
é dada por:
onde
é a derivada de
em relação a
, e os limites de integração são os valores de
que definem a curva, nesse caso, de
a
.
Passo 3
Vamos calcular
. Sabemos que
, então:
Agora, substituímos
e
na fórmula da área:
Passo 4
Para resolver a integral
, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Calculando:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área delimitada pela curva é
unidades de área.
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e
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aumenta.
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Seja
. Determine se a sequência
é convergente.