Considere a curva de equações paramétricas x = 2 cos(theta) e y = 3 sen(theta). Note que esta curva está sobre uma elipse.
Calcule a área delimitada por essa curva, considerando 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pelas equações paramétricas e . Isso representa uma elipse. Nosso objetivo é calcular a área que essa curva delimita quando varia de a . Para isso, vamos precisar usar o cálculo de integrais para encontrar a área de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de uma curva definida parametricamente. A fórmula para a área é dada por:
onde é a derivada de em relação a , e os limites de integração são os valores de que definem a curva, nesse caso, de a .

Passo 3

Vamos calcular . Sabemos que , então:
Agora, substituímos e na fórmula da área:

Passo 4

Para resolver a integral , usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Calculando:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Resposta

A área delimitada pela curva é unidades de área.

Exercícios relacionados

Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas x = t^2 e y = t^3
Determine os pontos de C onde a tangente é hotizontal ou vertical.
Esboce a curva paramétrica e elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva. Indique a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
x = cos(theta), y = sec(theta)
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y) = x * y * (1 - x - y)
Seja a_n = 2n / (3n + 1). Determine se a sequência a_n é convergente.