Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y) = x * y * (1 - x - y)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função . Para isso, vamos usar derivadas parciais e analisar os pontos críticos da função.

Passo 2

O próximo passo é encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular e e resolver o sistema e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações e :

Passo 6

Primeiro, analisamos a equação . Isso nos dá duas possibilidades:
  1. =>

Passo 7

Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Isso resulta em ou , obtendo os pontos e .

Passo 8

Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Isso dá ou => .
Se , então , obtendo o ponto .
Se , então , obtendo o ponto .

Passo 9

Agora, temos os pontos críticos: , , e .
Para determinar a natureza de cada ponto (máximo, mínimo ou sela), vamos usar o teste da segunda derivada.

Passo 10

Calculamos as segundas derivadas:

Passo 11

O discriminante é dado por:
Vamos calcular em cada ponto crítico.

Passo 12

Ponto :
Como , é um ponto de sela.

Passo 13

Ponto :
Como , é um ponto de sela.

Passo 14

Ponto :
Como , é um ponto de sela.

Passo 15

Ponto :
Além disso, , o que indica que é um ponto de máximo local.

Resposta

A função possui um máximo local no ponto e três pontos de sela nos pontos , e . Para visualizar melhor a função, você pode usar um programa de computador como GeoGebra ou Desmos 3D para traçar o gráfico em três dimensões, escolhendo um domínio que destaque esses pontos críticos e a forma geral da superfície.

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