Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar derivadas parciais e analisar os pontos críticos da função.
Passo 2
O próximo passo é encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular
e
e resolver o sistema
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações
e
:
Passo 6
Primeiro, analisamos a equação
. Isso nos dá duas possibilidades:
-
-
=>
Passo 7
Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Isso resulta em
ou
, obtendo os pontos
e
.
Passo 8
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Isso dá
ou
=>
.
Se
, então
, obtendo o ponto
.
Se
, então
, obtendo o ponto
.
Passo 9
Agora, temos os pontos críticos:
,
,
e
.
Para determinar a natureza de cada ponto (máximo, mínimo ou sela), vamos usar o teste da segunda derivada.
Passo 10
Calculamos as segundas derivadas:
Passo 11
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
em cada ponto crítico.
Passo 12
Ponto
:
Como
,
é um ponto de sela.
Passo 13
Ponto
:
Como
,
é um ponto de sela.
Passo 14
Ponto
:
Como
,
é um ponto de sela.
Passo 15
Ponto
:
Além disso,
, o que indica que
é um ponto de máximo local.
Resposta
A função
possui um máximo local no ponto
e três pontos de sela nos pontos
,
e
. Para visualizar melhor a função, você pode usar um programa de computador como GeoGebra ou Desmos 3D para traçar o gráfico em três dimensões, escolhendo um domínio que destaque esses pontos críticos e a forma geral da superfície.
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Considere a curva de equações paramétricas
e
. Note que esta curva está sobre uma elipse.
Calcule a área delimitada por essa curva, considerando .
Calcule a área delimitada por essa curva, considerando
Uma curva Cé definida pelas equações paramétricas
e
Determine os pontos de onde a tangente é hotizontal ou vertical.
Determine os pontos de
Seja
. Determine se a sequência
é convergente.
Use os testes da comparação para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem.
. Dica: use o teste da comparação no limite com a série harmônica