Seja
. Determine se a sequência
é convergente.
Passo 1
Beleza, então temos a sequência
e precisamos descobrir se ela converge, ou seja, se ela se aproxima de um valor específico quando
fica bem grande. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de
conforme
cresce. Olhando para a expressão
, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador têm termos de
, mas o denominador tem um termo extra de
.
Passo 3
Para facilitar a análise, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Isso nos ajuda a ver o que acontece quando
tende ao infinito.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
vai para o infinito:
Sabemos que
vai para 0 quando
cresce muito, então temos:
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é
.
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Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Considere a curva de equações paramétricas
e
. Note que esta curva está sobre uma elipse.
Calcule a área delimitada por essa curva, considerando .
Calcule a área delimitada por essa curva, considerando
Use os testes da comparação para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem.
. Dica: use o teste da comparação no limite com a série harmônica
Use o teste das séries alternadas e teste as seguintes séries quanto a convergência ou divergência. Em seguida, verifique se também são absolutamente convergentes.