Seja a_n = 2n / (3n + 1). Determine se a sequência a_n é convergente.

Passo 1

Beleza, então temos a sequência e precisamos descobrir se ela converge, ou seja, se ela se aproxima de um valor específico quando fica bem grande. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de conforme cresce. Olhando para a expressão , percebemos que tanto o numerador quanto o denominador têm termos de , mas o denominador tem um termo extra de .

Passo 3

Para facilitar a análise, podemos dividir o numerador e o denominador por :
Isso nos ajuda a ver o que acontece quando tende ao infinito.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando vai para o infinito:
Sabemos que vai para 0 quando cresce muito, então temos:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

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Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y) = x * y * (1 - x - y)
Considere a curva de equações paramétricas x = 2 cos(theta) e y = 3 sen(theta). Note que esta curva está sobre uma elipse.
Calcule a área delimitada por essa curva, considerando 0 <= theta <= 2 pi.
Use os testes da comparação para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem. sumn=1^infty 12 n+3. Dica: use o teste da comparação no limite com a série harmônica sumn=1^infty 1n
Use o teste das séries alternadas e teste as seguintes séries quanto a convergência ou divergência. Em seguida, verifique se também são absolutamente convergentes. sumn=1^infty(-1)^n-1 1ln (n+4)