Seja a_n = 2n / (3n + 1). Determine se a sequência a_n é convergente.

Passo 1

Beleza, então temos a sequência e precisamos descobrir se ela converge, ou seja, se ela se aproxima de um valor específico quando fica bem grande. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de conforme cresce. Olhando para a expressão , percebemos que tanto o numerador quanto o denominador têm termos de , mas o denominador tem um termo extra de .

Passo 3

Para facilitar a análise, podemos dividir o numerador e o denominador por :
Isso nos ajuda a ver o que acontece quando tende ao infinito.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando vai para o infinito:
Sabemos que vai para 0 quando cresce muito, então temos:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

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