Considere a curva
parametrizada por
e o campo vetorial
, para todo
.
(a) Determine uma função potencial para
.
(a) Determine uma função potencial para
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma função potencial para o campo vetorial
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos usar a ideia de que se
é conservativo, então existe uma função
tal que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
é a função potencial, então suas derivadas parciais em relação a
e
devem nos dar as componentes do campo vetorial
. Ou seja:
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira equação para encontrar
. Integraremos
em relação a
:
Aqui,
é uma função qualquer de
, já que a constante de integração pode depender apenas de
quando integramos em rela�o a
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
para comparar com a segunda equação:
Sabemos também que
. Então, igualando as duas expressões:
Passo 5
Observamos que os termos
e
se cancelam (são equivalentes). Assim, ficamos com:
Integrando essa equação em relação a
, encontramos
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
de volta na expressão de
, temos:
Essa é a função potencial que procurávamos.
Resposta
Uma função potencial para
é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Considere a curva
que consiste nos segmentos de reta de
a
, de
a
e na parábola
de
a
.
(a) Parametrize a curva .
(a) Parametrize a curva
Sejam
e
.
(b) Calcule , onde
é uma curva cujo traço é a circunferência centrada em
e de raio 1 .
Boa Prova.
(b) Calcule
Boa Prova.
Determine as equações paramétricas que correspondam às equações vetoriais dadas.
(a) Obtenha o corte com o eixo
da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial