Considere a curva gamma: [0, pi/2] -> R^2 parametrizada por γ(t) = (cos(t), sen(t)) e o campo vetorial F(x, y) = y^2 i + (2xy - e^y) j, para todo (x, y) em R^2.
(a) Determine uma função potencial para F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma função potencial para o campo vetorial . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos usar a ideia de que se é conservativo, então existe uma função tal que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se é a função potencial, então suas derivadas parciais em relação a e devem nos dar as componentes do campo vetorial . Ou seja:

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação para encontrar . Integraremos em relação a :
Aqui, é uma função qualquer de , já que a constante de integração pode depender apenas de quando integramos em relaç��o a .

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a para comparar com a segunda equação:
Sabemos também que . Então, igualando as duas expressões:

Passo 5

Observamos que os termos e se cancelam (são equivalentes). Assim, ficamos com:
Integrando essa equação em relação a , encontramos :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de , temos:
Essa é a função potencial que procurávamos.

Resposta

Uma função potencial para é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Considere a curva gamma que consiste nos segmentos de reta de 0,1 a (0,0), de (0,0) a 1,0 e na parábola y = 1 - x^2 de 1,0 a 0,1.
(a) Parametrize a curva gamma.
Sejam P(x, y)=1-yx^2+y^2-2 y+1 e Q(x, y)=xx^2+y^2-2 y+1.
(b) Calcule integralC P d x+Q d y, onde C é uma curva cujo traço é a circunferência centrada em (0,1) e de raio 1 .
Boa Prova.
Determine as equações paramétricas que correspondam às equações vetoriais dadas.
r = 3 t^2 i - 2 j
(a) Obtenha o corte com o eixo y da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial r = (3 + 2t) i + 5t j