Considere a curva gamma que consiste nos segmentos de reta de 0,1 a (0,0), de (0,0) a 1,0 e na parábola y = 1 - x^2 de 1,0 a 0,1.
(a) Parametrize a curva gamma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para parametrizar a curva gamma, que é composta por três partes: dois segmentos de reta e uma parábola. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar cada trecho da curva usando uma variável, geralmente o t, que pode variar em certos intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro segmento de reta, que vai de 0,1 a (0,0). Como o x não muda (fica sempre 0), só precisamos variar o y de 1 até 0. Podemos usar o t para isso.
Parametrização:
onde .

Passo 3

Agora, vamos para o segundo segmento de reta, que vai de (0,0) a 1,0. Aqui, o y permanece 0 e o x varia de 0 a 1. Usamos o t novamente para representar essa variação.
Parametrização:
onde .

Passo 4

Por último, temos a parte da parábola, que vai de 1,0 a 0,1 seguindo a equação . Para parametrizar essa parte, podemos deixar x variar de 1 a 0 conforme t vai de 0 a 1.
Parametrização:
onde .

Resposta

A parametrização completa da curva gamma é dada por:
Para 0 <= t <= 1 (segmento de 0,1 a (0,0)):
Para 1 <= t <= 2 (segmento de (0,0) a 1,0):
Para (parábola de 1,0 a 0,1):
Ou, de forma simplificada, usando intervalos separados para cada parte.

Exercícios relacionados

Sejam P(x, y)=1-yx^2+y^2-2 y+1 e Q(x, y)=xx^2+y^2-2 y+1.
(b) Calcule integralC P d x+Q d y, onde C é uma curva cujo traço é a circunferência centrada em (0,1) e de raio 1 .
Boa Prova.
Sejam P(x, y) = (1 - y) / (x^2 + y^2 - 2y + 1) e Q(x, y) = x / (x^2 + y^2 - 2y + 1).
(a) Calcule o rotacional do campo F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j.
Considere a curva gamma: [0, pi/2] -> R^2 parametrizada por γ(t) = (cos(t), sen(t)) e o campo vetorial F(x, y) = y^2 i + (2xy - e^y) j, para todo (x, y) em R^2.
(a) Determine uma função potencial para F.
Determine as equações paramétricas que correspondam às equações vetoriais dadas.
r = 3 t^2 i - 2 j