Sejam
e
.
(b) Calcule
, onde
é uma curva cujo traço é a circunferência centrada em
e de raio 1 .
Boa Prova.
(b) Calcule
Boa Prova.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
E precisamos calcular a integral de linha:
onde
é a curva que descreve uma circunferência centrada em
com raio 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva.
Passo 2
Vamos começar simplificando as expressões de
e
. Observe que o denominador é:
Então, podemos reescrever
e
como:
Passo 3
Agora, note que a curva
é uma circunferência centrada em
com raio 1. Isso significa que para qualquer ponto
na curva:
Portanto, no denominador de
e
, temos
. Assim, as funções simplificam para:
Passo 4
Agora, nossa integral de linha fica:
Para calcular essa integral, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos permite transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região
limitada pela curva
:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a área da região
, que é o interior da circunferência de raio 1. A área
de um círculo é dada por:
Com
, temos:
Passo 7
Portanto, a integral dupla fica:
Resposta
O valor da integral
é
.