Sejam P(x, y)=1-yx^2+y^2-2 y+1 e Q(x, y)=xx^2+y^2-2 y+1.
(b) Calcule integralC P d x+Q d y, onde C é uma curva cujo traço é a circunferência centrada em (0,1) e de raio 1 .
Boa Prova.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
P(x, y) = 1 - yx^2 + y^2 - 2y + 1
Q(x, y) = xx^2 + y^2 - 2y + 1
E precisamos calcular a integral de linha:
integralC P , dx + Q , dy
onde é a curva que descreve uma circunferência centrada em com raio 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva.

Passo 2

Vamos começar simplificando as expressões de x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + (y^2 - 2y + 1) = x^2 + (y - 1)^2 e P(x, y) = 1 - yx^2 + (y - 1)^2 . Observe que o denominador é:
Q(x, y) = xx^2 + (y - 1)^2
Então, podemos reescrever e como:

Passo 3

Agora, note que a curva x^2 + (y - 1)^2 = 1 é uma circunferência centrada em P(x, y) = 1 - y1 = 1 - y com raio 1. Isso significa que para qualquer ponto Q(x, y) = x1 = x na curva:
Portanto, no denominador de e , temos . Assim, as funções simplificam para:

Passo 4

Agora, nossa integral de linha fica:
integralC P , dx + Q , dy = integralC (1 - y) , dx + x , dy
Para calcular essa integral, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos permite transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA limitada pela curva :

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial (1 - y)partial y = -1
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( 1 - (-1) ) , dA = integral duplaD 2 , dA

Passo 6

Agora, precisamos calcular a área da região A = pi r^2 , que é o interior da circunferência de raio 1. A área A = pi times 1^2 = pi de um círculo é dada por:
Com , temos:

Passo 7

Portanto, a integral dupla fica:
integral duplaD 2 , dA = 2 times A = 2 pi

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados