Sejam P(x, y) = (1 - y) / (x^2 + y^2 - 2y + 1) e Q(x, y) = x / (x^2 + y^2 - 2y + 1).
(a) Calcule o rotacional do campo F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o rotacional do campo vetorial , onde:
O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de rotacional (ou curl) em campos vetoriais bidimensionais. Precisaremos aplicar a fórmula do rotacional para campos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do rotacional para um campo vetorial bidimensional :

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de Q em relação a x:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de P em relação a y:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Continuando a simplificação:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do rotacional:
Substituindo os valores calculados:

Resposta

O rotacional do campo F(x, y) é igual a zero.

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Mostre que a integral de linha integralgamma(2 x sen y+4 e^x) d x+(x^2 cos y+2) d y é nula, qualquer que seja a curva fechada gamma de classe C^1 por partes.
Desenhar as curvas de nível C_k para os valores de k dados: f(x, y) = (1/2) * raiz(x^2 + y^2) ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Sejam P(x, y)=1-yx^2+y^2-2 y+1 e Q(x, y)=xx^2+y^2-2 y+1.
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