Determine L^(-1){1/(s*(s^2-2*s+2))} - usando a Transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace juntos! O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de . Aqui, vamos precisar usar o método de frações parciais e algumas propriedades da Transformada de Laplace. Basicamente, vamos quebrar a expressão em partes mais simples para facilitar a inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Temos:
Para facilitar, completamos o quadrado:
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, vamos usar o método de frações parciais para decompor a expressão. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Passo 4

Vamos expandir e simplificar a equação:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para o termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na primeira equação:
  1. Substituindo na segunda equação:

Passo 7

Agora, substituímos os valores de , e na decomposição:
Podemos reescrever como:

Passo 8

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente. Lembrando das propriedades de deslocamento e das transformadas básicas:
No nosso caso, e .

Passo 9

Aplicando as transformadas:

Passo 10

Finalmente, somamos todas as partes:
Podemos simplificar agrupando os termos com :

Resposta

Exercícios relacionados