Determine
- usando a Transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace juntos! O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de
. Aqui, vamos precisar usar o método de frações parciais e algumas propriedades da Transformada de Laplace. Basicamente, vamos quebrar a expressão em partes mais simples para facilitar a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Temos:
Para facilitar, completamos o quadrado:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, vamos usar o método de frações parciais para decompor a expressão. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau:
- Para
:
- Para
:
- Para o termo constante:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
-
De
, temos . -
Substituindo
na primeira equação:
- Substituindo
na segunda equação:
Passo 7
Agora, substituímos os valores de
,
e
na decomposição:
Podemos reescrever como:
Passo 8
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente. Lembrando das propriedades de deslocamento e das transformadas básicas:
No nosso caso,
e
.
Passo 9
Aplicando as transformadas:
Passo 10
Finalmente, somamos todas as partes:
Podemos simplificar agrupando os termos com
: