Determine
- usando a Transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace juntos! O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de
. Aqui, vamos precisar usar o método de frações parciais e algumas propriedades da Transformada de Laplace. Basicamente, vamos quebrar a expressão em partes mais simples para facilitar a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Temos:
Para facilitar, completamos o quadrado:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, vamos usar o método de frações parciais para decompor a expressão. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau:
- Para
:
- Para
:
- Para o termo constante:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
-
De
, temos . -
Substituindo
na primeira equação:
- Substituindo
na segunda equação:
Passo 7
Agora, substituímos os valores de
,
e
na decomposição:
Podemos reescrever como:
Passo 8
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente. Lembrando das propriedades de deslocamento e das transformadas básicas:
No nosso caso,
e
.
Passo 9
Aplicando as transformadas:
Passo 10
Finalmente, somamos todas as partes:
Podemos simplificar agrupando os termos com
:
Resposta
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.469ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“15.878ex” height=“4.07ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1149.5 7018.2 1799”><title>L{-1}{1/((s-1){2}+1)}</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“2112” d=“M572 704Q607 704 607 693Q607 681 590 664H588Q586 664 584 664T578 663Q504 658 434 592T363 457Q363 426 386 401Q417 371 481 361Q490 360 527 360H562Q565 363 595 404T666 494T755 596T854 682T945 717Q986 717 1010 696T1035 637Q1035 593 996 531T873 414Q809 378 753 360T674 338T651 333Q650 333 633 308T588 245T544 185Q498 126 426 78L413 68H414Q498 47 575 47Q626 47 676 74T755 139L762 148H779H783Q802 148 802 142Q802 137 795 129Q760 81 691 33T544 -16Q470 -16 366 20L341 29L331 24Q239 -17 155 -17H141Q90 -17 61 -12T23 1T14 22Q14 44 39 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<html><head></head><body><div>Resolva, usando a Transformada de Laplace, o PVI abaixo: <span class="math-block "></span></div>
</body></html>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Considere a curva <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.05ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.719ex” height=“1.645ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -705 760 727”><title>C</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D436” d=“M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> interseção do paraboloide <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“16.241ex” height=“2.351ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 7178.6 1038.9”><title>z = 10 - x^2 - y^2</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D467” d=“M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 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