Resolva, usando a Transformada de Laplace, o PVI abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem:
, com a condição inicial
. A função
é uma função por partes: ela vale 0 quando
e 5 quando
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e lidar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada,
, é
, onde
é a Transformada de
. Como
, isso simplifica para
.
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Passo 3
Agora, vamos somar
:
Então, temos:
Passo 4
Precisamos calcular
. A função
é:
Podemos expressar isso usando a função de Heaviside
, onde
:
A Transformada de Laplace de
é
. Então:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Agora, precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para obter
.
Passo 6
Vamos decompor a fração usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
:
- Se
:
- Se
:
Então:
Passo 7
Substituindo de volta em
:
Agora, aplicamos a propriedade da Transformada de Laplace que envolve deslocamento no tempo:
Onde
é a Transformada de
sem o deslocamento.
Passo 8
Vamos encontrar a Transformada Inversa de cada termo:
Então:
Aplicando o deslocamento:
Passo 9
Multiplicando por 5, temos a solução geral:
Isso significa que para
,
, e para
,
cresce conforme a expressão acima.
Resposta
A solução do PVI é: