Resolva, usando a Transformada de Laplace, o PVI abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem: , com a condição inicial . A função é uma função por partes: ela vale 0 quando e 5 quando . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e lidar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada, Ly' + Ly = Lf(t) , é sY(s) + Y(s) = Lf(t) , onde é a Transformada de . Como , isso simplifica para .
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:

Passo 3

Agora, vamos somar Y(s)(s + 1) = Lf(t) :
Y(s) = Lf(t)s + 1
Então, temos:

Passo 4

Precisamos calcular f(t) = 0, & 0 <= t < 1 5, & t >= 1 . A função f(t) = 5 cdot u(t - 1) é:
Lf(t) = 5 cdot e^-ss
Podemos expressar isso usando a função de Heaviside , onde :
A Transformada de Laplace de é . Então:

Passo 5

Substituindo Y(s) = 5 cdot e^-sss + 1 = 5e^-ss(s + 1) na expressão de :
Agora, precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para obter .

Passo 6

Vamos decompor a fração usando frações parciais:
1s(s + 1) = As + Bs + 1
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(s + 1) + Bs :
1 = A(0 + 1) + B(0) Rightarrow A = 1
Para encontrar 1 = A(0) + B(-1) Rightarrow B = -1 e 1s(s + 1) = 1s - 1s + 1 , escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :
Então:

Passo 7

Substituindo de volta em Y(s) = 5e^-s ( 1s - 1s + 1 ) :
L^-1e^-asF(s) = u(t - a)f(t - a)
Agora, aplicamos a propriedade da Transformada de Laplace que envolve deslocamento no tempo:
Onde é a Transformada de sem o deslocamento.

Passo 8

Vamos encontrar a Transformada Inversa de cada termo:
L^-1 1s = 1
L^-1 1s + 1 = e^-t
Então:
L^-1 1s - 1s + 1 = 1 - e^-t
Aplicando o deslocamento:
L^-1 e^-s ( 1s - 1s + 1 ) = u(t - 1) [ 1 - e^-(t - 1) ]

Passo 9

Multiplicando por 5, temos a solução geral:
y(t) = 5u(t - 1) [ 1 - e^-(t - 1) ]
Isso significa que para , , e para , cresce conforme a expressão acima.

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = 5u(t - 1) [ 1 - e^-(t - 1) ]

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