Considere a curva interseção do parabolóide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
Diretamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao longo da curva , que é onde o parabolóide se junta com o cilindro . A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green. Precisamos entender a curva , simplificar a integral e aplicar o teorema para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva . Ela é a interseção entre o parabolóide e o cilindro . Como , podemos substituir na equação do parabolóide:
Então, ao longo da curva , é sempre 9. Isso simplifica a nossa integral porque é constante na curva.

Passo 3

Agora, vamos substituir na integral original:
Como (porque é constante), a última parte da integral desaparece. Assim, a integral fica:

Passo 4

Perceba que é uma constante. Podemos fatorar ela para fora da integral:
Agora, temos duas integrais de linha mais simples para resolver.

Passo 5

Aqui entra o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha sobre uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que delimita. O teorema diz que:
No nosso caso, para a primeira integral :
Então,
Para a segunda integral :
Então,

Passo 6

Agora, aplicando o Teorema de Green:
A região é o interior do cilindro , que é um círculo de raio 1. A área dessa região é .
Então,

Resposta

A integral de linha vale .

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