Considere a curva C interseção do parabolóide z=10-x^2-y^2 com o cilindro x^2+y^2=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
ointC y e^z-3 d x+x z^2 d y+e^x y z d z
Diretamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao longo da curva , que é onde o parabolóide se junta com o cilindro . A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green. Precisamos entender a curva , simplificar a integral e aplicar o teorema para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva z = 10 - 1 = 9 . Ela é a interseção entre o parabolóide e o cilindro . Como , podemos substituir na equação do parabolóide:
Então, ao longo da curva , é sempre 9. Isso simplifica a nossa integral porque é constante na curva.

Passo 3

Agora, vamos substituir ointC y e^z-3 dx + x z^2 dy + e^x y z dz = ointC y e^6 dx + x cdot 81 dy + e^9xy cdot 0 na integral original:
ointC y e^6 dx + 81x dy
Como (porque é constante), a última parte da integral desaparece. Assim, a integral fica:

Passo 4

Perceba que e^6 ointC y dx + 81 ointC x dy é uma constante. Podemos fatorar ela para fora da integral:
Agora, temos duas integrais de linha mais simples para resolver.

Passo 5

Aqui entra o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha sobre uma curva fechada ointC M dx + N dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx dy com uma integral dupla sobre a região M = y e N = 0 que partial Npartial x - partial Mpartial y = 0 - 1 = -1 delimita. O teorema diz que:
M = 0 e N = x
No nosso caso, para a primeira integral partial Npartial x - partial Mpartial y = 1 - 0 = 1 :
Então,
Para a segunda integral :
Então,

Passo 6

Agora, aplicando o Teorema de Green:
e^6 ointC y dx + 81 ointC x dy = e^6 integral duplaD (-1) dx dy + 81 integral duplaD 1 dx dy
A região e^6 cdot (-1) cdot pi + 81 cdot 1 cdot pi = (-e^6 + 81) pi é o interior do cilindro , que é um círculo de raio 1. A área dessa região é .
Então,

Resposta

A integral de linha vale .

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