Considere a curva
interseção do parabolóide
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
Diretamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao longo da curva
, que é onde o parabolóide
se junta com o cilindro
. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green. Precisamos entender a curva
, simplificar a integral e aplicar o teorema para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva
. Ela é a interseção entre o parabolóide
e o cilindro
. Como
, podemos substituir na equação do parabolóide:
Então, ao longo da curva
,
é sempre 9. Isso simplifica a nossa integral porque
é constante na curva.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na integral original:
Como
(porque
é constante), a última parte da integral desaparece. Assim, a integral fica:
Passo 4
Perceba que
é uma constante. Podemos fatorar ela para fora da integral:
Agora, temos duas integrais de linha mais simples para resolver.
Passo 5
Aqui entra o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha sobre uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
que
delimita. O teorema diz que:
No nosso caso, para a primeira integral
:
Então,
Para a segunda integral
:
Então,
Passo 6
Agora, aplicando o Teorema de Green:
A região
é o interior do cilindro
, que é um círculo de raio 1. A área dessa região é
.
Então,
Resposta
A integral de linha vale
.
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