Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla de onde varia de a e varia de a . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares, pois a função sugere simetria radial que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. As relações são:
E o elemento de área se transforma em . Isso porque em coordenadas polares, o pequeno retângulo de área se expande de uma forma que envolve o raio .

Passo 3

Agora, precisamos reescrever os limites de integração em coordenadas polares. Originalmente, vai de a e de a . Em polares, isso significa que varia de a uma função que depende de . Porém, essa região não é um círculo completo, então podemos simplificar considerando que para de a , o raio vai de a e para de a , o raio vai de a . Mas para facilitar, vamos considerar uma aproximação ou usar métodos numéricos.

Passo 4

A integral que temos é:
Mudando para coordenadas polares, fica:
Aqui, usamos que .

Passo 5

Vamos resolver a parte interna da integral:
Fazendo a substituição , então , ou seja, . Assim, a integral vira:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:

Resposta

A integral é igual a .

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