Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla de
onde
varia de
a
e
varia de
a
. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares, pois a função
sugere simetria radial que facilita a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. As relações são:
E o elemento de área
se transforma em
. Isso porque em coordenadas polares, o pequeno retângulo de área se expande de uma forma que envolve o raio
.
Passo 3
Agora, precisamos reescrever os limites de integração em coordenadas polares. Originalmente,
vai de
a
e
de
a
. Em polares, isso significa que
varia de
a uma função que depende de
. Porém, essa região não é um círculo completo, então podemos simplificar considerando que para
de
a
, o raio
vai de
a
e para
de
a
, o raio
vai de
a
. Mas para facilitar, vamos considerar uma aproximação ou usar métodos numéricos.
Passo 4
A integral que temos é:
Mudando para coordenadas polares, fica:
Aqui, usamos que
.
Passo 5
Vamos resolver a parte interna da integral:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. Assim, a integral vira:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Resposta
A integral
é igual a
.
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Considere a curva
interseção do parabolóide
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
Diretamente.
Se
com média 80 e desvio padrão 10 , qual o
percentil?
Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
e
Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.