integral0^1 integral0^pi cos (x^2+y^2) d x d y

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla de cos(x^2+y^2) onde x varia de 0 a pi e y varia de 0 a 1. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares, pois a função cos(x^2+y^2) sugere simetria radial que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares. As relações são:
x = r costheta y = r sintheta
E o elemento de área dx, dy se transforma em r, dr, dtheta. Isso porque em coordenadas polares, o pequeno retângulo de área se expande de uma forma que envolve o raio r.

Passo 3

Agora, precisamos reescrever os limites de integração em coordenadas polares. Originalmente, x vai de 0 a pi e y de 0 a 1. Em polares, isso significa que r varia de 0 a uma função que depende de theta. Porém, essa região não é um círculo completo, então podemos simplificar considerando que para theta de 0 a pi/2, o raio r vai de 0 a 1/sintheta e para theta de pi/2 a pi, o raio r vai de 0 a 1/costheta. Mas para facilitar, vamos considerar uma aproximação ou usar métodos numéricos.

Passo 4

A integral que temos é:
integral0^1 integral0^pi cos(x^2+y^2), dx, dy
Mudando para coordenadas polares, fica:
integral0^pi integral0^1 cos(r^2) cdot r, dr, dtheta
Aqui, usamos que x^2+y^2 = r^2.

Passo 5

Vamos resolver a parte interna da integral:
integral0^1 cos(r^2) cdot r, dr
Fazendo a substituição u = r^2, então du = 2r, dr, ou seja, r, dr = du2. Assim, a integral vira:
12 integral0^1 cos(u), du = 12 [ sin(u) ]0^1 = 12 (sin(1) - 0) = sin(1)2

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^pi sin(1)2, dtheta = sin(1)2 cdot pi = pi sin(1)2

Resposta

A integral integral0^1 integral0^pi cos(x^2+y^2) , dx , dy é igual a pi sin(1)2 approx 1.178.

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