Determine a equação do plano tangente ao elipsoide no ponto

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente encontrar a equação do plano tangente ao elipsoide no ponto . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se o ponto está realmente no elipsoide. Substituindo as coordenadas na equação do elipsoide:
Como , o ponto está no elipsoide. Isso é importante porque só podemos encontrar um plano tangente em pontos que pertencem à superfície.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente a uma superfície definida por no ponto , usamos a seguinte fórmula:
Aqui, , , e são as derivadas parciais de em relação a , , e , respectivamente.

Passo 4

No nosso caso, a equação do elipsoide é . Podemos reescrevê-la como .
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula do plano tangente:
Vamos expandir e simplificar:
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar:
Ou, de forma mais comum:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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