Determine a equação do plano tangente ao elipsoide
no ponto
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente encontrar a equação do plano tangente ao elipsoide
no ponto
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se o ponto
está realmente no elipsoide. Substituindo as coordenadas na equação do elipsoide:
Como
, o ponto está no elipsoide. Isso é importante porque só podemos encontrar um plano tangente em pontos que pertencem à superfície.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente a uma superfície definida por
no ponto
, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
,
, e
são as derivadas parciais de
em relação a
,
, e
, respectivamente.
Passo 4
No nosso caso, a equação do elipsoide é
. Podemos reescrevê-la como
.
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula do plano tangente:
Vamos expandir e simplificar:
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar:
Ou, de forma mais comum:
Resposta
A equação do plano tangente é
.
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.
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