integral0^2 integralx^2 e^x y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que está assim: . Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais de funções de duas variáveis. Vamos precisar integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Para integrar em relação a , podemos usar a regra da integração de funções exponenciais. Sabemos que , onde é uma constante. No nosso caso, .

Passo 4

Aplicando essa regra, temos:
integral e^x y , dy = 1x e^x y + C
Agora, avaliaremos essa antiderivada de [ 1x e^x y ]y=x^y=2 = 1x e^2x - 1x e^x cdot x = e^2xx - e^x^2x a :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
integral0^2 ( e^2xx - e^x^2x ) dx
Isso nos dá duas integrais mais simples para resolver.

Passo 6

Vamos separar as integrais:
integral0^2 e^2xx , dx - integral0^2 e^x^2x , dx
No entanto, ambas essas integrais não têm soluções elementares em termos de funções básicas. Elas são relacionadas às funções especiais conhecidas como a função exponencial integral.

Passo 7

Portanto, para expressar a solução final, usamos a notação da função exponencial integral Resposta = 12 [ Ei(4) - Ei(0) ] - 12 [ Ei(4) - Ei(0) ] = 0 :
Neste caso particular, ao avaliar os limites, percebemos que as duas partes se cancelam, resultando em zero.

Resposta

O valor da integral é .

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