Considere a curva C de interseção das superfícies de equações x^2 - 2*x*z + y^2*z = 3 e 3xy - 2yz = -2. Determine:
a) Um vetor tangente a C em 1, -2, 1.
b) Os pontos de hiperboloide x^2 + y^2 - z^2 + 12 = 0 onde o plano tangente é perpendicular ao vetor encontrado no item a).

Passo 1

Então, a gente tem uma curva que é a interseção de duas superfícies dadas pelas equações:
Nós queremos:
a) Encontrar um vetor tangente a no ponto .
b) Encontrar os pontos no hiperboloide onde o plano tangente é perpendicular ao vetor que encontramos no item a).
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente gradientes e vetores tangentes a curvas de interseção de superfícies.

Passo 2

Item a) Vamos encontrar um vetor tangente à curva no ponto dado. A curva é a interseção de duas superfícies, então o vetor tangente será perpendicular aos gradientes das duas superfícies nesse ponto.
Primeiro, vamos calcular os gradientes das duas superfícies.
Para a primeira superfície :
Para a segunda superfície :
Agora, avaliamos os gradientes no ponto :
Para :
Para :

Passo 3

Para encontrar o vetor tangente à curva , vamos calcular o produto vetorial dos gradientes e no ponto :
Calculando o determinante:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -6:

Passo 4

Item b) Agora, queremos encontrar os pontos no hiperboloide onde o plano tangente é perpendicular ao vetor encontrado no item a).
O plano tangente a uma superfície em um ponto tem como normal o gradiente da função que define a superfície nesse ponto. Então, para o hiperboloide , o gradiente é:
Queremos que esse gradiente seja paralelo ao vetor , ou seja:
Onde é um escalar.
Então, temos o sistema:
Resolvendo para :
Agora, substituímos essas expressões na equação do hiperboloide:
Agora, encontramos os pontos correspondentes para cada :
Para :
Para :

Resposta

a) Um vetor tangente a no ponto é .
b) Os pontos no hiperboloide onde o plano tangente é perpendicular ao vetor encontrado no item a) são e .

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