Considere a curva de interseção das superfícies de equações e . Determine:
a) Um vetor tangente a em .
b) Os pontos de hiperboloide onde o plano tangente é perpendicular ao vetor encontrado no item a).
Passo 1
Então, a gente tem uma curva que é a interseção de duas superfícies dadas pelas equações:
Nós queremos:
a) Encontrar um vetor tangente a no ponto .
b) Encontrar os pontos no hiperboloide onde o plano tangente é perpendicular ao vetor que encontramos no item a).
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente gradientes e vetores tangentes a curvas de interseção de superfícies.
Passo 2
Item a) Vamos encontrar um vetor tangente à curva no ponto dado. A curva é a interseção de duas superfícies, então o vetor tangente será perpendicular aos gradientes das duas superfícies nesse ponto.
Primeiro, vamos calcular os gradientes das duas superfícies.
Para a primeira superfície :
Para a segunda superfície :
Agora, avaliamos os gradientes no ponto :
Para :
Para :
Passo 3
Para encontrar o vetor tangente à curva , vamos calcular o produto vetorial dos gradientes e no ponto :
Calculando o determinante:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -6:
Passo 4
Item b) Agora, queremos encontrar os pontos no hiperboloide onde o plano tangente é perpendicular ao vetor encontrado no item a).
O plano tangente a uma superfície em um ponto tem como normal o gradiente da função que define a superfície nesse ponto. Então, para o hiperboloide , o gradiente é:
Queremos que esse gradiente seja paralelo ao vetor , ou seja:
Onde é um escalar.
Então, temos o sistema:
Resolvendo para :
Agora, substituímos essas expressões na equação do hiperboloide:
Agora, encontramos os pontos correspondentes para cada :
Para :
Para :
Resposta
a) Um vetor tangente a no ponto é .
b) Os pontos no hiperboloide onde o plano tangente é perpendicular ao vetor encontrado no item a) são e .