Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
a) parabola em percorrida da direita à esquerda;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma parametrização para a parábola no plano , percorrida da direita para a esquerda. Isso significa que queremos descrever a curva usando uma variável, geralmente chamada de , de maneira que, conforme varia, a posição na curva siga da direita para a esquerda. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma parametrização e como aplicá-la a uma parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é parametrização. Parametrizar uma curva significa expressar as coordenadas e em termos de uma terceira variável, , que geralmente representa o tempo. Isso nos permite “andar” ao longo da curva variando o valor de . Para a parábola , uma forma simples de parametrização é escolher como função de e, em seguida, definir com base nisso.

Passo 3

Vamos começar com uma parametrização básica. Se deixarmos , então . Assim, temos:
Essa parametrização percorre a parábola de esquerda para a direita conforme aumenta. Mas o enunciado pede para percorrê-la da direita para a esquerda, então precisamos ajustar isso.

Passo 4

Para inverter a direção do percurso, queremos que, conforme aumenta, diminua. Uma maneira simples de fazer isso é definir . Então, substituindo na equação da parábola:
Portanto, nossa parametrização fica:
Com aumentando, vai de valores positivos para negativos, ou seja, da direita para a esquerda.

Passo 5

Vamos verificar se essa parametrização faz sentido. Quando :
Então, o ponto inicial é a origem. Conforme aumenta para valores positivos, se torna negativo e aumenta, movendo-nos para a esquerda e para cima na parábola, exatamente como queremos.

Resposta

Uma possível parametrização para a parábola percorrida da direita para a esquerda é:
onde varia em .

Exercícios relacionados

Considere a curva de interseção das superfícies de equações e . Determine:
a) Um vetor tangente a em .
b) Os pontos de hiperboloide onde o plano tangente é perpendicular ao vetor encontrado no item a).
Encontre equações paramétricas da reta tangente a em , nos seguintes casos:
(a)
Sejam e as superfícies definidas por e , respectivamente.
a) Determine a equação do plano tangente a .
b) Determine equações da reta tangente à curva de interseção de e em .
c) Mostre que a reta tangente encontrada no item b) é tangente à superfície de equação no ponto .
Seja a sequência de funções definidas por Mostre que para todo , é um polinômio de grau , cujos coeficientes estão em .