Sejam e as superfícies definidas por e , respectivamente.
a) Determine a equação do plano tangente a .
b) Determine equações da reta tangente à curva de interseção de e em .
c) Mostre que a reta tangente encontrada no item b) é tangente à superfície de equação no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que envolve superfícies no espaço. Temos duas superfícies definidas por:
:
:
A gente vai precisar entender como encontrar planos tangentes e retas tangentes a curvas de interseção dessas superfícies, além de verificar tangência com outra superfície dada. Vamos resolver as partes a), b) e c) passo a passo.
Passo 2
Parte a): Queremos encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto .
Primeiro, lembrando que para achar o plano tangente a uma superfície em um ponto , a equação do plano é:
Ou seja, a derivada parcial de em relação a cada variável multiplicada pela diferença das coordenadas.
Passo 3
Vamos aplicar isso para . Primeiro, definimos .
Calculando as derivadas parciais:
No ponto :
Passo 4
Agora, substituímos na equação do plano tangente:
Vamos simplificar:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 5
Parte b): Vamos encontrar as equações da reta tangente à curva de interseção de e no ponto .
Primeiro, precisamos achar as derivadas direcionais ou usar o método dos vetores normais das superfícies para encontrar a direção da reta tangente.
Passo 6
Calculamos os vetores normais das superfícies em :
Para :
Para :
Derivadas parciais de :
Então,
Passo 7
A direção da reta tangente é o vetor produto vetorial dos vetores normais:
Ou seja,
Passo 8
Assim, a reta tangente pode ser parametrizada usando o ponto e o vetor direção :
Passo 9
Parte c): Precisamos mostrar que essa reta tangente é também tangente à superfície no ponto .
Para isso, vamos verificar se a derivada direcional de na direção da reta é nula no ponto .
Passo 10
Primeiro, calculamos o gradiente de :
No ponto :
Então,
Passo 11
A direção da reta é . Para a reta ser tangente à superfície , o gradiente de deve ser perpendicular à direção da reta, ou seja, o produto escalar deve ser zero:
Passo 12
Como o produto escalar não é zero (), a reta não é tangente à superfície nesse ponto. Porém, como o enunciado pede para mostrar que é tangente, houve um erro. Vamos reavaliar os cálculos.
Passo 13
Recalculando :
Percebi que realmente o produto escalar não é zero, indicando que a reta não é tangente. Talvez haja um erro na parametrização ou na direção.
Resposta
Após reavaliar os cálculos, constatamos que a reta tangente encontrada no item b) não é tangente à superfície no ponto , já que o produto escalar do gradiente com o vetor direção não é zero.