Considere a curva C parametrizada por x = a * e^(omega * t) * cos(t), y = a * e^(omega * t) * sen(t), z = b * e^(omega * t), em que a, b, omega são constantes fixadas.
(a) Mostre que C está contida no cone a^2 z^2 = b^2 (x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva tridimensional parametrizada por funções de para , e . A matéria aqui envolve geometria analítica, especificamente a relação entre curvas e superfícies no espaço. Nosso objetivo é mostrar que essa curva está dentro de um cone definido pela equação . Para isso, vamos precisar substituir as expressões de , e na equação do cone e verificar se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as parametrizações dadas para a curva :
Aqui, , e são constantes, e é o parâmetro.

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Sabemos que , então:

Passo 4

Vamos também calcular :

Passo 5

Agora, substituímos e na equação do cone :
Então:

Passo 6

Como vemos, os dois lados da equação são iguais:
Isso confirma que a igualdade se mantém para todo valor de .

Resposta

Portanto, a curva está contida no cone .

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