Considere a curva parametrizada por , em que são constantes fixadas.
(a) Mostre que está contida no cone .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva tridimensional parametrizada por funções de para , e . A matéria aqui envolve geometria analítica, especificamente a relação entre curvas e superfícies no espaço. Nosso objetivo é mostrar que essa curva está dentro de um cone definido pela equação . Para isso, vamos precisar substituir as expressões de , e na equação do cone e verificar se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as parametrizações dadas para a curva :
Aqui, , e são constantes, e é o parâmetro.

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Sabemos que , então:

Passo 4

Vamos também calcular :

Passo 5

Agora, substituímos e na equação do cone :
Então:

Passo 6

Como vemos, os dois lados da equação são iguais:
Isso confirma que a igualdade se mantém para todo valor de .

Resposta

Portanto, a curva está contida no cone .

Exercícios relacionados

Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
e) em , o circulo de raio 1 e centro , no plano .
Encontre equações paramétricas da reta tangente a em , nos seguintes casos:
©
Encontre equações paramétricas da reta tangente a em , nos seguintes casos:
(a)
Considere a curva de interseção das superfícies de equações e . Determine:
a) Um vetor tangente a em .
b) Os pontos de hiperboloide onde o plano tangente é perpendicular ao vetor encontrado no item a).