Considere a curva parametrizada por , em que são constantes fixadas.
(a) Mostre que está contida no cone .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva tridimensional parametrizada por funções de para , e . A matéria aqui envolve geometria analítica, especificamente a relação entre curvas e superfícies no espaço. Nosso objetivo é mostrar que essa curva está dentro de um cone definido pela equação . Para isso, vamos precisar substituir as expressões de , e na equação do cone e verificar se a igualdade se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as parametrizações dadas para a curva :
Aqui, , e são constantes, e é o parâmetro.
Passo 3
Agora, vamos calcular :
Sabemos que , então:
Passo 4
Vamos também calcular :
Passo 5
Agora, substituímos e na equação do cone :
Então:
Passo 6
Como vemos, os dois lados da equação são iguais:
Isso confirma que a igualdade se mantém para todo valor de .