Considere a curva
parametrizada por
, em que
são constantes fixadas.
(a) Mostre que
está contida no cone
.
(a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva tridimensional
parametrizada por funções de
para
,
e
. A matéria aqui envolve geometria analítica, especificamente a relação entre curvas e superfícies no espaço. Nosso objetivo é mostrar que essa curva está dentro de um cone definido pela equação
. Para isso, vamos precisar substituir as expressões de
,
e
na equação do cone e verificar se a igualdade se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as parametrizações dadas para a curva
:
Aqui,
,
e
são constantes, e
é o parâmetro.
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Vamos também calcular
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação do cone
:
Então:
Passo 6
Como vemos, os dois lados da equação são iguais:
Isso confirma que a igualdade se mantém para todo valor de
.
Resposta
Portanto, a curva
está contida no cone
.