Encontre equações paramétricas da reta tangente a C em P, nos seguintes casos:
(a) C: { x = 2t^2 - 1, y = -5t^2 + 3, P = (1, -2, 10), z = 8t + 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto . A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de derivadas de curvas paramétricas para encontrar a reta tangente. Para resolver, vamos precisar das equações paramétricas da curva e encontrar o vetor tangente no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de que corresponde ao ponto . Olhando para a equação de da curva:
Sabemos que no ponto , então:
Então, o parâmetro que corresponde a é .

Passo 3

Agora que temos , vamos encontrar as derivadas das funções , e em relação a . Essas derivadas nos dão o vetor tangente à curva naquele ponto.
As equações da curva são:
Vamos calcular as derivadas:

Passo 4

Agora, substituímos nas derivadas para obter o vetor tangente no ponto :
Então, o vetor tangente é .

Passo 5

Com o vetor tangente e o ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta é:
Onde é o ponto na reta e são as componentes do vetor diretor da reta. Aqui, é um novo parâmetro.
Substituindo os valores:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são:
onde é o parâmetro.

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