Encontre equações paramétricas da reta tangente a em , nos seguintes casos:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto . A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de derivadas de curvas paramétricas para encontrar a reta tangente. Para resolver, vamos precisar das equações paramétricas da curva e encontrar o vetor tangente no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de que corresponde ao ponto . Olhando para a equação de da curva:
Sabemos que no ponto , então:
Então, o parâmetro que corresponde a é .

Passo 3

Agora que temos , vamos encontrar as derivadas das funções , e em relação a . Essas derivadas nos dão o vetor tangente à curva naquele ponto.
As equações da curva são:
Vamos calcular as derivadas:

Passo 4

Agora, substituímos nas derivadas para obter o vetor tangente no ponto :
Então, o vetor tangente é .

Passo 5

Com o vetor tangente e o ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta é:
Onde é o ponto na reta e são as componentes do vetor diretor da reta. Aqui, é um novo parâmetro.
Substituindo os valores:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são:
onde é o parâmetro.

Exercícios relacionados

Considere a curva parametrizada por , em que são constantes fixadas.
(a) Mostre que está contida no cone .
Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
e) em , o circulo de raio 1 e centro , no plano .
Considere a curva de interseção das superfícies de equações e . Determine:
a) Um vetor tangente a em .
b) Os pontos de hiperboloide onde o plano tangente é perpendicular ao vetor encontrado no item a).
Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
a) parabola em percorrida da direita à esquerda;