Considere uma curva parametrizada
dada pelas equações paramétricas
Calcule o comprimento da curva
para
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma curva parametrizada pelas equações e
, onde
varia de 0 a 1. Nosso objetivo é calcular o comprimento dessa curva no intervalo dado. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos
e
, o comprimento
da curva de
até
é dado por:
Então, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. Dado , usamos a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Dado
, novamente aplicamos a regra do produto:
Passo 5
Com as derivadas em mãos, vamos montar a expressão dentro da raiz da fórmula do comprimento:
Vamos expandir cada quadrado:
Observamos que os termos e se cancelam, restando:
Sabemos que , então:
Passo 6
Agora, podemos escrever o comprimento da curva como:
Essa integral é uma forma padrão que podemos resolver usando uma tabela de integrais ou técnicas de integração. A integral de
em relação a
é:
onde
é a função arco seno hiperbólico.
Resposta
Calculando de 0 a 1, o comprimento da curva
é aproximadamente: