Considere uma curva parametrizada C dada pelas equações paramétricas
x(t) = t sen(t) e y(t) = t cos(t), 0 <= t <= 1
Calcule o comprimento da curva C para t in [0, 1].

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma curva parametrizada pelas equações e , onde varia de 0 a 1. Nosso objetivo é calcular o comprimento dessa curva no intervalo dado. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos e , o comprimento da curva de até é dado por:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular . Dado , usamos a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Dado , novamente aplicamos a regra do produto:

Passo 5

Com as derivadas em mãos, vamos montar a expressão dentro da raiz da fórmula do comprimento:
Vamos expandir cada quadrado:
Observamos que os termos e se cancelam, restando:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, podemos escrever o comprimento da curva como:
Essa integral é uma forma padrão que podemos resolver usando uma tabela de integrais ou técnicas de integração. A integral de em relação a é:
onde é a função arco seno hiperbólico.

Resposta

Calculando de 0 a 1, o comprimento da curva é aproximadamente:

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