Use a Regra de Simpson com n=10 para aproximar a integral dada. Arredonde seus resultados para seis casas decimais. integral1^4 raizx cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a Regra de Simpson com . O que isso significa é que vamos aproximar o valor de dividindo o intervalo em 10 partes iguais. Para isso, vamos precisar entender como funciona a Regra de Simpson e aplicar as fórmulas corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a largura de cada subintervalo, que chamamos de h = b - an = 4 - 110 = 0,3 . Como o intervalo vai de 1 a 4 e temos 10 subintervalos, o será:

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos x0 = 1, x1 = 1 + 0,3 = 1,3, x2 = 1,6, ldots, x10 = 4 onde vamos avaliar a função xi = 1 + i times 0,3 para i = 0, 1, 2, ldots, 10 . Esses pontos são:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função f(x0) = raiz1 cos(1) approx 1 times 0,540302 approx 0,540302 em todos esses pontos:
f(x1) = raiz1,3 cos(1,3) approx 1,140175 times 0,267498 approx 0,305291
f(x2) = raiz1,6 cos(1,6) approx 1,264911 times (-0,0291995) approx -0,036863
vdots
f(x10) = raiz4 cos(4) approx 2 times (-0,653644) approx -1,307289
(Nota: Todos os valores devem ser calculados com mais precisão e arredondados apenas no final.)

Passo 5

De acordo com a Regra de Simpson, a aproximação da integral é dada por:
integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4 sumímpares f(xi) + 2 sumpares f(xi) + f(x10) ] í
Isso significa que:
  • Multiplicamos os valores nos índices ímpares (1, 3, 5, 7, 9) por 4.
  • Multiplicamos os valores nos índices pares (2, 4, 6, 8) por 2.
  • Somamos e sem multiplicação adicional.
  • Multiplicamos tudo por .

Passo 6

Vamos organizar os cálculos:
Somatório dos ímpares &= 4 times (f(x1) + f(x3) + f(x5) + f(x7) + f(x9)) Somatório dos pares &= 2 times (f(x2) + f(x4) + f(x6) + f(x8)) óíó
Calculando cada parte:
Somatório dos ímpares = 4 times (0,305291 + f(x3) + f(x5) + f(x7) + f(x9)) óí
(Os valores de devem ser calculados da mesma forma que nos passos anteriores.)

Passo 7

Após calcular todos os termos, somamos tudo junto e multiplicamos por Integral approx 0,1 times [ f(x0) + Somatório dos ímpares + Somatório dos pares + f(x10) ] :
óíó

Passo 8

Finalmente, após realizar todos os cálculos, vamos arredondar o resultado para seis casas decimais.

Resposta

A aproximação da integral usando a Regra de Simpson com é aproximadamente .

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