Considere as equações paramétricas da circunferência
de raio
e centro na origem
:
Calcule o comprimento de
utilizando as equações paramétricas fornecidas.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma circunferência
com raio
e centro na origem, dada pelas equações paramétricas:
O que precisa calcular é o comprimento dessa circunferência usando essas equações paramétricas. Vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a encontrar o tamanho de curvas definidas por funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas. Se temos funções
e
, o comprimento
entre
e
é dado por:
No nosso caso, o parâmetro é
, então vamos adaptar a fórmula para:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das funções
e
em relação a
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Fatorando
dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Como
é constante, a integral fica simples:
Resposta
O comprimento da circunferência
é
.