Considere as equações paramétricas da circunferência de raio e centro na origem :
Calcule o comprimento de utilizando as equações paramétricas fornecidas.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma circunferência com raio e centro na origem, dada pelas equações paramétricas:
O que precisa calcular é o comprimento dessa circunferência usando essas equações paramétricas. Vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a encontrar o tamanho de curvas definidas por funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas. Se temos funções e , o comprimento entre e é dado por:
No nosso caso, o parâmetro é , então vamos adaptar a fórmula para:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas das funções e em relação a .
Para :
Para :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Fatorando dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 6

Como é constante, a integral fica simples:

Resposta

O comprimento da circunferência é .

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Use a Regra de Simpson com para estimar a área sob a curva de a .
Considere as equações paramétricas da circunferência de raio e centro na origem :
Utilizando as equações paramétricas fornecidas, calcule a área delimitada por , isto é, a área do disco de raio .
Considere as equações paramétricas da elipse com centro na origem :
onde .
Calcule o comprimento de utilizando as equações paramétricas fornecidas.