Considere as equações paramétricas da circunferência C de raio R > 0 e centro na origem (0,0) :
x(phi) = R cos(phi) e y(phi) = R sen(phi) para phi em [0, 2pi]
Calcule o comprimento de C utilizando as equações paramétricas fornecidas.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma circunferência C com raio R e centro na origem, dada pelas equações paramétricas:
O que precisa calcular é o comprimento dessa circunferência usando essas equações paramétricas. Vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a encontrar o tamanho de curvas definidas por funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas. Se temos funções x(t) e y(t), o comprimento L entre e é dado por:
No nosso caso, o parâmetro é phi, então vamos adaptar a fórmula para:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas das funções e em relação a phi.
Para :
Para :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Fatorando dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 6

Como R é constante, a integral fica simples:

Resposta

O comprimento da circunferência C é .

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