Considere as equações paramétricas da circunferência C de raio R > 0 e centro na origem (0,0) :
x(phi) = R cos(phi) e y(phi) = R sen(phi) para phi em [0, 2pi]
Utilizando as equações paramétricas fornecidas, calcule a área delimitada por C, isto é, a área do disco de raio R.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a área do disco de raio usando as equações paramétricas de uma circunferência. Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo de áreas utilizando coordenadas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações paramétricas fornecidas para a circunferência :
Aqui, varia de a . Essas equações descrevem todos os pontos que formam a circunferência de raio centrada na origem.

Passo 3

Para encontrar a área delimitada por uma curva parametrizada, usamos a fórmula de integração para áreas em coordenadas paramétricas:
Onde:
  • é a derivada de em relação a .
  • é a derivada de em relação a .
  • e são os limites de integração, que no nosso caso são e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:

Passo 5

Substituindo , , e na fórmula da área:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 7

Sabemos que , então:

Resposta

A área do disco de raio é .

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