Considere as equações paramétricas da circunferência
de raio
e centro na origem
:
Utilizando as equações paramétricas fornecidas, calcule a área delimitada por
, isto é, a área do disco de raio
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a área do disco de raio
usando as equações paramétricas de uma circunferência. Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo de áreas utilizando coordenadas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações paramétricas fornecidas para a circunferência
:
Aqui,
varia de
a
. Essas equações descrevem todos os pontos
que formam a circunferência de raio
centrada na origem.
Passo 3
Para encontrar a área delimitada por uma curva parametrizada, usamos a fórmula de integração para áreas em coordenadas paramétricas:
Onde:
-
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a . -
e são os limites de integração, que no nosso caso são e .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Passo 5
Substituindo
,
,
e
na fórmula da área:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Sabemos que
, então:
Resposta
A área do disco de raio
é
.