Considere a curva parametrizada por
.
Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas paramétricas.
Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas paramétricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por duas equações paramétricas:
O objetivo é formular a integral que representa o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em coordenadas paramétricas, que é uma parte da Cálculo Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos
e
, então o comprimento
da curva de
até
é dado por:
Essa fórmula basicamente soma pequeninas retas que compõem a curva, usando a ideia de limites do cálculo integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco.
Primeiro, calculamos
:
E
:
Passo 5
Agora, somamos essas duas expressões dentro da raiz quadrada da fórmula do comprimento de arco:
Passo 6
Por fim, colocamos tudo na integral com os limites de
até
:
Resposta
A integral que representa o comprimento da curva é: