Considere a curva parametrizada por .
Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas paramétricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por duas equações paramétricas:
O objetivo é formular a integral que representa o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em coordenadas paramétricas, que é uma parte da Cálculo Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos e , então o comprimento da curva de até é dado por:
Essa fórmula basicamente soma pequeninas retas que compõem a curva, usando a ideia de limites do cálculo integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco.
Primeiro, calculamos :
E :

Passo 5

Agora, somamos essas duas expressões dentro da raiz quadrada da fórmula do comprimento de arco:

Passo 6

Por fim, colocamos tudo na integral com os limites de até :

Resposta

A integral que representa o comprimento da curva é:

Exercícios relacionados

Um capacitor é um equipamento que armazena carga elétrica. A carga em um capacitor é acumulada segundo a função
Qual é a carga inicial do capacitor?
Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Prove, usando a definição formal de limite, que as seguintes funções são contínuas nos pontos dados:
(b) em