Prove, usando a definição formal de limite, que as seguintes funções são contínuas nos pontos dados:
(b) em

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar a definição formal de limite. Precisamos mostrar que:

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Então, queremos provar que para qualquer , existe um tal que, se , então .

Passo 3

Vamos trabalhar com a desigualdade . Para facilitar, podemos manipular essa expressão:
Somando 2 em todas as partes:

Passo 4

Agora, vamos elevar ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Expandindo os quadrados:

Passo 5

Queremos que , portanto, precisamos que:
Combinando com a desigualdade anterior, para garantir que ambas sejam verdadeiras, escolhemos como o mínimo entre e algum valor que mantenha próximo a 4, por exemplo, .

Passo 6

Assim, para qualquer , se escolhemos , então sempre que , teremos . Isso satisfaz a definição de limite.

Resposta

Portanto, pela definição formal de limite, é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Considere a curva parametrizada por .
Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas paramétricas.
Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.