Prove, usando a definição formal de limite, que as seguintes funções são contínuas nos pontos dados:
(b)
em
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que a função
é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar a definição formal de limite. Precisamos mostrar que:
Passo 2
Primeiro, sabemos que
. Então, queremos provar que para qualquer
, existe um
tal que, se
, então
.
Passo 3
Vamos trabalhar com a desigualdade
. Para facilitar, podemos manipular essa expressão:
Somando 2 em todas as partes:
Passo 4
Agora, vamos elevar ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Expandindo os quadrados:
Passo 5
Queremos que
, portanto, precisamos que:
Combinando com a desigualdade anterior, para garantir que ambas sejam verdadeiras, escolhemos
como o mínimo entre
e algum valor que mantenha
próximo a 4, por exemplo,
.
Passo 6
Assim, para qualquer
, se escolhemos
, então sempre que
, teremos
. Isso satisfaz a definição de limite.
Resposta
Portanto, pela definição formal de limite,
é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Considere a curva parametrizada por
.
Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas paramétricas.
Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas paramétricas.
Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.