Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Passo 1
Então, a gente tem um sistema de equações paramétricas onde
e
, com
variando em todos os números reais (
). Nosso objetivo aqui é eliminar o parâmetro
, ou seja, encontrar uma relação direta entre
e
sem envolver
. Além disso, vamos esboçar a curva resultante no plano cartesiano e indicar a direção em que a curva é traçada conforme
aumenta. Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos eliminar o parâmetro
. A gente começa isolando
na primeira equação:
Agora que temos
em função de
, substituímos esse valor na segunda equação:
Passo 3
A relação entre
e
ficou bem simples:
. Isso nos diz que a curva é uma reta com inclinação 1 e intercepto em
. Ou seja, para qualquer valor de
,
será sempre 1 unidade acima.
Passo 4
Para esboçar essa reta no plano cartesiano, a gente pode escolher alguns valores de
e calcular
:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Plotando esses pontos e ligando com uma linha reta, temos a representação gráfica da curva.
Passo 5
Agora, vamos indicar a direção da curva conforme
aumenta. Observando as equações:
Quando
aumenta,
também aumenta. Isso significa que conforme
cresce, o valor de
aumenta, e consequentemente,
também aumenta. Portanto, a seta na reta deve estar apontando para a direita, indicando que a curva é traçada da esquerda para a direita à medida que
aumenta.
Resposta
A curva é a reta
esboçada no plano cartesiano, com uma seta apontando para a direita indicando que, conforme
aumenta, a curva é traçada da esquerda para a direita.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(12)
(12)
Um capacitor é um equipamento que armazena carga elétrica. A carga em um capacitor é acumulada segundo a função
Qual é a carga inicial do capacitor?
Considere a curva parametrizada por
.
Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas paramétricas.
Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas paramétricas.