Una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico modelizada por la función f(x, y) = 2500 - 5x^2 - 10y^2. El eje x positivo apunta hacia el este y el eje y positivo hacia el norte.
Si se suelta una pelota en 1 ; 1, ¿en qué dirección comenzará a rodar?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma montanha com a forma de um paraboloide elíptico, descrita pela função . O enunciado nos pergunta em que direção uma bola começará a rolar quando é solta no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente, que nos indica a direção de subida mais íngreme em uma superfície. Assim, a direção de rolagem será oposta ao gradiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Isso nos dá a direção de subida mais acentuada.
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Esse vetor aponta na direção de subida mais íngreme. Entretanto, como queremos a direção em que a bola irá rolar, devemos considerar a direção oposta ao gradiente, pois a bola vai rolar para baixo.

Passo 4

A direção de rolagem será, portanto, o vetor oposto ao gradiente calculado:
çã
Para entender melhor, podemos simplificar esse vetor dividindo pelos componentes para obter uma direção unitária:
çãá
Isso significa que a bola começa a rolar na direção que possui uma componente leste de aproximadamente 0,447 e uma componente norte de aproximadamente 0,894.

Resposta

A bola começará a rolar na direção leste-norte, seguindo o vetor .

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