Considere a curva r(t) = (cos(t), sen(t), t). Determine: A equação da reta tangente no ponto P = (1, 0, 0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por e precisamos encontrar a equação da reta tangente nesta curva no ponto . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica e cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar determinar em que valor de a curva passa pelo ponto e, em seguida, calcular o vetor tangente à curva nesse ponto.

Passo 2

Vamos encontrar o valor de que faz com que . Isso significa resolver o sistema:
Sabemos que e ocorre quando (considerando o intervalo principal). Assim, o ponto corresponde a na curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor derivada , que nos dá a direção da tangente à curva em qualquer ponto :

Passo 4

Vamos avaliar no ponto :
Este vetor é o vetor tangente à curva no ponto .

Passo 5

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Em geral, a equação de uma reta no espaço pode ser escrita como:
onde é o ponto na reta e é o vetor diretor.

Passo 6

Aplicando aos nossos valores:
Isso resulta nas equações paramétricas:

Resposta

A equação da reta tangente no ponto é dada por:
Onde é o parâmetro da reta.

Exercícios relacionados