Considere a curva . Determine: A equação da reta tangente no ponto .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por e precisamos encontrar a equação da reta tangente nesta curva no ponto . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica e cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar determinar em que valor de a curva passa pelo ponto e, em seguida, calcular o vetor tangente à curva nesse ponto.
Passo 2
Vamos encontrar o valor de que faz com que . Isso significa resolver o sistema:
Sabemos que e ocorre quando (considerando o intervalo principal). Assim, o ponto corresponde a na curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular o vetor derivada , que nos dá a direção da tangente à curva em qualquer ponto :
Passo 4
Vamos avaliar no ponto :
Este vetor é o vetor tangente à curva no ponto .
Passo 5
Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Em geral, a equação de uma reta no espaço pode ser escrita como: