Considere a curva
. Determine: determine um vetor
que seja simultaneamente ortogonal a
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um vetor
que seja ortogonal tanto à primeira derivada
quanto à segunda derivada
da curva
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e ortogonalidade. Então, vamos precisar calcular as derivadas de
e depois encontrar um vetor que seja perpendicular a ambas elas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. A derivada de um vetor função é feita derivando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
, que é a derivada da primeira derivada:
Passo 4
Queremos encontrar um vetor
que seja ortogonal a
e
. Isso significa que o produto escalar de
com
e com
deve ser zero:
Passo 5
Vamos escrever essas equações de produto escalar:
Passo 6
Vamos simplificar a equação (2):
Passo 7
Agora, temos duas equações:
Podemos resolver esse sistema para
.
Passo 8
Da segunda equação, podemos isolar
:
Passo 9
Substituindo
na primeira equação:
Sabemos que
, então:
Passo 10
Isolando
:
Passo 11
Agora, temos as relações:
Podemos escolher
livremente, por exemplo,
.
Passo 12
Com
:
Portanto, o vetor
é:
Resposta
O vetor
que é simultaneamente ortogonal a
e
é: