Considere a curva r(t) = (cos(t), sen(t), t). Determine: determine um vetor w(t) que seja simultaneamente ortogonal a r'(t) e r''(t);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um vetor que seja ortogonal tanto à primeira derivada quanto à segunda derivada da curva . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e ortogonalidade. Então, vamos precisar calcular as derivadas de e depois encontrar um vetor que seja perpendicular a ambas elas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de em relação a . A derivada de um vetor função é feita derivando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que é a derivada da primeira derivada:

Passo 4

Queremos encontrar um vetor que seja ortogonal a e . Isso significa que o produto escalar de com e com deve ser zero:

Passo 5

Vamos escrever essas equações de produto escalar:

Passo 6

Vamos simplificar a equação (2):

Passo 7

Agora, temos duas equações:
Podemos resolver esse sistema para .

Passo 8

Da segunda equação, podemos isolar :

Passo 9

Substituindo na primeira equação:
Sabemos que , então:

Passo 10

Isolando :

Passo 11

Agora, temos as relações:
Podemos escolher livremente, por exemplo, .

Passo 12

Com :
Portanto, o vetor é:

Resposta

O vetor que é simultaneamente ortogonal a e é:

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