Use a Regra da Cadeia para achar
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. As equações que temos são:
Vamos focar em encontrar
usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como cada variável depende de
e como elas se relacionam entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a Regra da Cadeia. Essa regra é usada para encontrar a derivada de uma função composta. Ou seja, se temos uma função que depende de outra função, a derivada total é o produto das derivadas dessas funções.
No nosso caso,
depende de
e
, que por sua vez, dependem de
. Então, para encontrar
, vamos precisar derivar
em relação a
e
, e depois multiplicar pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Explicando: A derivada de
em relação a
é simplesmente
, já que
está multiplicando esse termo. Já a derivada de
em relação a
envolve a derivada da exponencial, que traz o fator
devido ao
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas nos dizem como
e
mudam à medida que
varia.
Passo 5
Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada total de
em relação a
é dada por:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Perceba que podemos fatorar
na expressão:
Passo 7
Agora, vamos substituir
e
pelas suas expressões em termos de
:
Sabemos que:
Substituindo na expressão:
Isso nos dá a derivada de
em relação a
completamente expressa em termos de
.