Use a Regra da Cadeia para achar d z / d t ou d w / d t.
w = x * e^(y / 2), x = t^2, y = 1 - t, z = 1 + 2 * t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . As equações que temos são:
Vamos focar em encontrar usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como cada variável depende de e como elas se relacionam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a Regra da Cadeia. Essa regra é usada para encontrar a derivada de uma função composta. Ou seja, se temos uma função que depende de outra função, a derivada total é o produto das derivadas dessas funções.
No nosso caso, depende de e , que por sua vez, dependem de . Então, para encontrar , vamos precisar derivar em relação a e , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos começar encontrando as derivadas parciais de em relação a e :
Explicando: A derivada de em relação a é simplesmente , já que está multiplicando esse termo. Já a derivada de em relação a envolve a derivada da exponencial, que traz o fator devido ao .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas nos dizem como e mudam à medida que varia.

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada total de em relação a é dada por:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Perceba que podemos fatorar na expressão:

Passo 7

Agora, vamos substituir e pelas suas expressões em termos de :
Sabemos que:
Substituindo na expressão:
Isso nos dá a derivada de em relação a completamente expressa em termos de .

Resposta

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