2,5
2. (a) Encontre o limite lim t 0(e^t^2 i-j+ln (1+3 t) k), se existir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite de uma função vetorial conforme se aproxima de 0. Estamos trabalhando com limites de funções vetoriais, que envolvem componentes nas direções , e . Para resolver, vamos analisar o limite de cada componente separadamente.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a componente , que é . Sabemos que a função exponencial é contínua em todos os pontos, o que significa que o limite de quando tende a 0 é simplesmente .

Passo 3

Agora, vamos para a componente , que é uma constante . Como é uma constante, o limite dela é ela mesma, ou seja, .

Passo 4

Por último, temos a componente , que é . Sabemos que a função logaritmo natural é contínua onde está definida. Quando se aproxima de 0, se aproxima de 1, então se aproxima de .

Resposta

Portanto, o limite é:
lim t 0(e^t^2 i-j+ln (1+3 t) k) = i - j + 0,k = i - j

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