Seja (x0, y0) um ponto da elipse x^2 + 4y^2 = 1 tal que x0 > 0 e y0 > 0.
(a) Mostre que a reta tangente T à elipse no ponto (x0, y0) é dada pela equação x0 * x + 4 * y0 * y = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um ponto na elipse dada por , onde e . Nosso objetivo aqui é encontrar a equação da reta tangente nessa elipse no ponto . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, especificamente a fórmula da reta tangente a uma elipse.

Passo 2

Primeiro, sabemos que para uma elipse geral dada por , a equação da reta tangente em um ponto na elipse é:
No nosso caso, a equação da elipse é . Podemos reescrever isso na forma padrão dividindo ambos os lados por 1:
Então, comparando com , temos e . Portanto, e .

Passo 3

Agora, substituímos e na fórmula da reta tangente:
Simplificando a segunda fração:
Então, a equação fica:

Resposta

A equação da reta tangente à elipse no ponto é .

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