Seja
um ponto da elipse
tal que
e
.
(a) Mostre que a reta tangente
à elipse no ponto
é dada pela equação
.
(a) Mostre que a reta tangente
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um ponto
na elipse dada por
, onde
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação da reta tangente
nessa elipse no ponto
. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, especificamente a fórmula da reta tangente a uma elipse.
Passo 2
Primeiro, sabemos que para uma elipse geral dada por
, a equação da reta tangente em um ponto
na elipse é:
No nosso caso, a equação da elipse é
. Podemos reescrever isso na forma padrão dividindo ambos os lados por 1:
Então, comparando com
, temos
e
. Portanto,
e
.
Passo 3
Agora, substituímos
e
na fórmula da reta tangente:
Simplificando a segunda fração:
Então, a equação fica:
Resposta
A equação da reta tangente
à elipse no ponto
é
.