Considere a curva r(t) = (cos(t), sen(t), t). Determine: r''(t);

Passo 1

Então, a gente tem uma curva definida por e precisa encontrar a segunda derivada dessa curva, ou seja, . Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde a gente analisa como a posição de um ponto muda em relação ao tempo. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma função vetorial que descreve a posição de um ponto no espaço à medida que varia. A primeira derivada, , nos dá a velocidade desse ponto, e a segunda derivada, , nos dá a aceleração.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada . Para isso, derivamos cada componente de em relação a :
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada derivando novamente cada componente de em relação a :
Calculando cada derivada:
Então,

Resposta

A segunda derivada da curva é .

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