Esboce os gráficos das funções abaixo:
f(x) = x^4 + 2*x^3 + 1

Passo 1

Beleza, então a gente tem que esboçar o gráfico da função . Isso faz parte do conteúdo de Análise de Funções, onde a gente vai usar uns conceitos de cálculo e estudo de gráficos de funções polinomiais. Vamos precisar encontrar pontos importantes como raízes, interceptações, derivadas para achar máximos e mínimos, e entender o comportamento da função quando vai para mais ou menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . Para isso, precisamos resolver a equação:
Essa equação não é fácil de fatorar diretamente, então vamos usar métodos numéricos ou tentar encontrar pelo menos uma raiz real. Testando valores simples, vimos que não há raízes racionais óbvias. Então, concluímos que essa função não cruza o eixo , ou seja, não tem interceptações com o eixo .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interceptação com o eixo . Isso ocorre quando . Basta substituir na função:
Então, a função corta o eixo no ponto .

Passo 4

Para entender os pontos de máximo e mínimo da função, vamos calcular a derivada primeira :
Agora, vamos encontrar onde essa derivada é zero para achar os pontos críticos:
Isso nos dá duas soluções: e .

Passo 5

Vamos analisar cada ponto crítico para ver se é máximo ou mínimo. Para isso, usamos a segunda derivada :
  • Para :
Isso indica que o teste da segunda derivada não é conclusivo. Vamos analisar o sinal da derivada primeira em torno de . Vendo que a derivada muda de negativa para positiva, temos um ponto de mínimo em .
  • Para :
Como a segunda derivada é positiva, também temos um ponto de mínimo em .

Passo 6

Por último, vamos analisar o comportamento da função quando vai para mais ou menos infinito. Como o termo de maior grau é e o coeficiente é positivo, sabemos que:
Então, o gráfico sobe para ambos os lados.

Resposta

O gráfico da função tem um ponto de mínimo em e outro em , sem interceptações com o eixo . A função sobe para indo para mais ou menos infinito. Com essas informações, você pode desenhar o esboço do gráfico, que terá uma forma semelhante a uma “W” suavizada, passando pelo ponto e tendo dois vales em e .

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