Quais das funções a seguir são continuas? E por qué? Argumente.
f: R - {pi/2} -> R^2 ; f(t) = (t, 1 / (t - pi / 2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente verificar quais das funções apresentadas são contínuas e justificar o porquê. A matéria que estamos lidando aqui é continuidade de funções, que faz parte do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e analisar a função que foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função que foi fornecida:
Essa função está definida para todos os números reais exceto . Nosso objetivo é verificar se é contínua nesse domínio.

Passo 3

Vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “quebras” no gráfico dela nesse ponto. Mais formalmente, é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos analisar as componentes da função :
  1. A primeira componente é , que é uma função linear e, portanto, contínua em todo o seu domínio.
  2. A segunda componente é . Essa é uma função racional, que é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero.

Passo 5

Como o denominador não pode ser zero (já que no domínio da função), a segunda componente é contínua em todo o domínio de .

Passo 6

Como ambas as componentes de são contínuas em seus respectivos domínios, podemos concluir que a função vetorial também é contínua no domínio onde está definida, ou seja, para todos os .

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio , pois ambas as suas componentes são contínuas nesse intervalo.

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