Quais das funções a seguir são continuas? E por qué? Argumente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente verificar quais das funções apresentadas são contínuas e justificar o porquê. A matéria que estamos lidando aqui é continuidade de funções, que faz parte do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e analisar a função que foi dada.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função que foi fornecida:
Essa função está definida para todos os números reais exceto
. Nosso objetivo é verificar se
é contínua nesse domínio.
Passo 3
Vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “quebras” no gráfico dela nesse ponto. Mais formalmente,
é contínua em
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos analisar as componentes da função
:
- A primeira componente é
, que é uma função linear e, portanto, contínua em todo o seu domínio. - A segunda componente é
. Essa é uma função racional, que é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero.
Passo 5
Como o denominador
não pode ser zero (já que
no domínio da função), a segunda componente
é contínua em todo o domínio de
.
Passo 6
Como ambas as componentes de
são contínuas em seus respectivos domínios, podemos concluir que a função vetorial
também é contínua no domínio onde está definida, ou seja, para todos os
.
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio
, pois ambas as suas componentes são contínuas nesse intervalo.