Considere as curvas
e
e
e
, ambas com
.
a) As equações representam a mesma curva?
a) As equações representam a mesma curva?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas curvas definidas por equações paramétricas:
- Curva C₁:
e - Curva C₂: e
O intervalo para
é de
a
. A matéria envolvida aqui é a geometria analítica, mais especificamente o estudo de curvas paramétricas. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como as diferentes parametrizações descrevem as curvas no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a Curva C₁:
- Quando
: , → Ponto (1, 0) - Quando
: , → Ponto (0, 1) - Quando
: , → Ponto (-1, 0) - Quando
: , → Ponto (0, -1) - Quando
: , → Ponto (1, 0)
Observamos que a curva C₁ traça um círculo de raio 1 centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos analisar a Curva C₂:
- Quando
: , → Ponto (0, 1) - Quando
: , → Ponto (1, 0) - Quando
: , → Ponto (0, -1) - Quando
: , → Ponto (-1, 0) - Quando
: , → Ponto (0, 1)
Também aqui, a curva C₂ traça um círculo de raio 1 centrado na origem.
Passo 4
Apesar das parametrizações serem diferentes, ambas as curvas C₁ e C₂ passam pelos mesmos pontos no plano cartesiano, apenas em ordens diferentes. Isso significa que, geometricamente, elas descrevem o mesmo conjunto de pontos, ou seja, o mesmo círculo.
Além disso, a diferença está na forma como percorremos o círculo. A curva C₁ começa no ponto (1, 0) e vai para (0, 1), enquanto a curva C₂ começa em (0, 1) e vai para (1, 0). Apesar dessa diferença na parametrização, o caminho percorrido é o mesmo.
Resposta
Sim, as equações das curvas
e
representam a mesma curva.