Considere as curvas C1: x = cos(t) e y = sen(t) e C 2: x = sen(t) e y = cos(t), ambas com 0 <= t <= 2 pi.
a) As equações representam a mesma curva?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas curvas definidas por equações paramétricas:
  • Curva C₁: e
  • Curva C₂: e
O intervalo para é de a . A matéria envolvida aqui é a geometria analítica, mais especificamente o estudo de curvas paramétricas. Para resolver essa questão, vamos precisar entender como as diferentes parametrizações descrevem as curvas no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a Curva C₁:
  • Quando : , → Ponto (1, 0)
  • Quando : , → Ponto (0, 1)
  • Quando : , → Ponto (-1, 0)
  • Quando : , → Ponto (0, -1)
  • Quando : , → Ponto (1, 0)
Observamos que a curva C₁ traça um círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos analisar a Curva C₂:
  • Quando : , → Ponto (0, 1)
  • Quando : , → Ponto (1, 0)
  • Quando : , → Ponto (0, -1)
  • Quando : , → Ponto (-1, 0)
  • Quando : , → Ponto (0, 1)
Também aqui, a curva C₂ traça um círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 4

Apesar das parametrizações serem diferentes, ambas as curvas C₁ e C₂ passam pelos mesmos pontos no plano cartesiano, apenas em ordens diferentes. Isso significa que, geometricamente, elas descrevem o mesmo conjunto de pontos, ou seja, o mesmo círculo.
Além disso, a diferença está na forma como percorremos o círculo. A curva C₁ começa no ponto (1, 0) e vai para (0, 1), enquanto a curva C₂ começa em (0, 1) e vai para (1, 0). Apesar dessa diferença na parametrização, o caminho percorrido é o mesmo.

Resposta

Sim, as equações das curvas e representam a mesma curva.

Exercícios relacionados