Encontre soluções aproximadas para a equação
ln(x-1) = sen(2x)
com precisão epsilon = 0.02, utilizando o método da bisseção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o método da bisseção com uma precisão de . Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas. Vamos precisar identificar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, onde passa de positivo para negativo ou vice-versa.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos igualar a zero:
Precisamos encontrar valores de x onde . Para aplicar a bisseção, precisamos de um intervalo [a, b] onde f(a) e f(b) tenham sinais opostos.

Passo 3

Vamos escolher valores para x e calcular f(x) para identificar tal intervalo.
Por exemplo:
  • Para x = 2:
  • Para x = 3:
  • Para x = 4:
  • Para x = 5:
Parece que precisamos tentar valores menores que 2.

Passo 4

Vamos tentar :
Agora, observamos que e . Então, temos um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, uma raiz está nesse intervalo.

Passo 5

Agora, aplicamos o método da bisseção no intervalo com precisão .
  1. Calculamos o ponto médio:
  1. Avaliamos :
Como e , a raiz está em .

Passo 6

Continuamos o processo:
  1. Novo ponto médio:
  1. Avaliamos :
Como e , a raiz está em .

Passo 7

Mais uma iteração:
  1. Ponto médio:
  1. Avaliamos :
Como e , a raiz está em .

Passo 8

Outra iteração:
  1. Ponto médio:
  1. Avaliamos :
Como e , a raiz está em .

Passo 9

Mais uma vez:
  1. Ponto médio:
  1. Avaliamos :
Como e , a raiz está em .

Passo 10

Ultima iteração dentro da precisão:
  1. Ponto médio:
  1. Avaliamos :
Ainda está abaixo de zero, então a raiz está em . A largura do intervalo é , que é menor que nossa precisão de .

Resposta

A solução aproximada para a equação , com precisão , utilizando o método da bisseção, é .

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