Ok, vamos lá! Você me pediu para fazer a fatoração LU da matriz . Fatoração LU é uma forma de decompor uma matriz quadrada em duas matrizes: (triangular inferior) e (triangular superior), de modo que . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre álgebra linear e operações de linha em matrizes. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz :
Na fatoração LU, será uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal, e será uma matriz triangular superior. Nosso objetivo é encontrar essas duas matrizes tais que . Vamos começar preenchendo com a primeira linha de e com os multiplicadores necessários para zerar os elementos abaixo da diagonal principal.
Passo 3
Vamos definir e começar a calcular os multiplicadores para . A primeira linha de será igual à primeira linha de :
Agora, para zerar os elementos abaixo de na primeira coluna, calculamos os multiplicadores:
Para a segunda linha:
Para a terceira linha:
Esses multiplicadores vão compor a matriz :
Passo 4
Agora, vamos atualizar utilizando esses multiplicadores para preencher os elementos de . Primeiro, atualizamos a segunda linha:
Calculando:
Então, a segunda linha de fica:
Agora, faremos o mesmo para a terceira linha:
Calculando:
Então, a terceira linha de fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o próximo multiplicador para , que vai nos ajudar a zerar o elemento abaixo de na segunda coluna.
Calculamos:
Atualizamos a matriz :
Passo 6
Finalmente, atualizamos a terceira linha de usando o multiplicador :