Considere a matriz
A = [[4, -1, 2], [-1, 6, -1], [2, -1, 5]]
Faça a fatoração LU de A;

Passo 1

Ok, vamos lá! Você me pediu para fazer a fatoração LU da matriz . Fatoração LU é uma forma de decompor uma matriz quadrada em duas matrizes: (triangular inferior) e (triangular superior), de modo que . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre álgebra linear e operações de linha em matrizes. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz :
Na fatoração LU, será uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal, e será uma matriz triangular superior. Nosso objetivo é encontrar essas duas matrizes tais que . Vamos começar preenchendo com a primeira linha de e com os multiplicadores necessários para zerar os elementos abaixo da diagonal principal.

Passo 3

Vamos definir e começar a calcular os multiplicadores para . A primeira linha de será igual à primeira linha de :
Agora, para zerar os elementos abaixo de na primeira coluna, calculamos os multiplicadores:
  • Para a segunda linha:
  • Para a terceira linha:
Esses multiplicadores vão compor a matriz :

Passo 4

Agora, vamos atualizar utilizando esses multiplicadores para preencher os elementos de . Primeiro, atualizamos a segunda linha:
Calculando:
Então, a segunda linha de fica:
Agora, faremos o mesmo para a terceira linha:
Calculando:
Então, a terceira linha de fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o próximo multiplicador para , que vai nos ajudar a zerar o elemento abaixo de na segunda coluna.
Calculamos:
Atualizamos a matriz :

Passo 6

Finalmente, atualizamos a terceira linha de usando o multiplicador :
Calculando:
Então, a matriz final fica:

Resposta

A fatoração LU da matriz é dada por:
Portanto, .

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