Considere as curvas dadas por 0 e . Determine o produto escalar e o produto vetorial .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas curvas no espaço tridimensional, e , definidas por funções vetoriais. Nosso objetivo é calcular o produto escalar entre elas, que é uma maneira de multiplicar dois vetores e obter um número, e o produto vetorial, que resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais. Para isso, vamos precisar das definições de produto escalar e vetorial e saber como manipular componentes vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes de cada vetor:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar, que é dado por:
Onde , , são as componentes de e , , são as componentes de .
Passo 4
Substituindo as componentes:
Agora, vamos simplificar cada termo:
permanece como está
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto vetorial, que é dado por:
Isso significa que vamos montar uma matriz 3x3 onde a primeira linha são os vetores unitários, a segunda linha são as componentes de e a terceira linha são as componentes de . O determinante dessa matriz nos dá o vetor resultante do produto vetorial.
Passo 6
Montando a matriz:
Agora, vamos calcular o determinante:
Passo 7
Simplificando cada componente:
Para :
Para :
Para :
Então, o produto vetorial fica:
Resposta
Portanto, o produto escalar e o produto vetorial são dados por: