Considere as curvas F, G: A -> R^3 dadas por F(t) = t^2 i + (t + 1) j - t k 0 e G(t) = (t^2 + 1)i + sen(j) + 1/t^2 k. Determine o produto escalar F(t) . G(t) e o produto vetorial F(t) ∧ G(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas curvas no espaço tridimensional, e , definidas por funções vetoriais. Nosso objetivo é calcular o produto escalar entre elas, que é uma maneira de multiplicar dois vetores e obter um número, e o produto vetorial, que resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais. Para isso, vamos precisar das definições de produto escalar e vetorial e saber como manipular componentes vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes de cada vetor:
Aqui, i, vec(j) e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar, que é dado por:
Onde , , são as componentes de e , , são as componentes de .

Passo 4

Substituindo as componentes:
Agora, vamos simplificar cada termo:
  • permanece como está
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial, que é dado por:
Isso significa que vamos montar uma matriz 3x3 onde a primeira linha são os vetores unitários, a segunda linha são as componentes de e a terceira linha são as componentes de . O determinante dessa matriz nos dá o vetor resultante do produto vetorial.

Passo 6

Montando a matriz:
Agora, vamos calcular o determinante:

Passo 7

Simplificando cada componente:
  • Para i:
  • Para vec(j):
  • Para k:
Então, o produto vetorial fica:

Resposta

Portanto, o produto escalar e o produto vetorial são dados por:

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