A formulação matemática da lei empírica de Newton para o resfriamento/aquecimento de um objeto é dada pela equação diferencial linear de primeira ordem
em que
é a temperatura do objeto para
é a temperatura ambiente e
é uma constante de proporcionalidade. Sabendo disso resolva o seguinte problema:
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é
. Três minutos mais tarde, sua temperatura é
. Quanto tempo levará para o bolo resfriar até a temperatura ambiente de
? A resposta está de acordo com sua intuição física? Caso não encontre um tempo exato, faça uma aproximação, utilize uma ferramenta computacional se necessário.
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é
Passo 1
Então, a gente tem um bolo que foi retirado do forno com uma temperatura inicial de
. Três minutos depois, a temperatura do bolo cai para
. A gente quer descobrir quanto tempo vai levar para o bolo esfriar até a temperatura ambiente de
. Vamos usar a lei de resfriamento de Newton, que nos ajuda a modelar como a temperatura de um objeto muda com o tempo em relação à temperatura ambiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que descreve o resfriamento:
Aqui,
é a temperatura do bolo no tempo
,
é a temperatura ambiente (
), e
é uma constante que precisamos descobrir. Essa equação nos diz que a taxa de variação da temperatura do bolo é proporcional à diferença entre a temperatura do bolo e a temperatura ambiente.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, separamos as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para
:
Podemos substituir
por uma nova constante
:
Passo 5
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar
e
. Quando
,
:
Então, a equação fica:
Passo 6
Sabemos que após 3 minutos (
), a temperatura é
:
Subtraindo 70 de ambos os lados:
Dividindo por 230:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Então:
Calculando o valor:
Passo 8
Agora que temos
, podemos usar a equação geral para encontrar o tempo
quando
:
Subtraindo 70 de ambos os lados:
Isso implica que:
No entanto, a função exponencial nunca atinge exatamente zero. Isso significa que, na prática, o bolo nunca atingirá exatamente a temperatura ambiente, mas se aproximará cada vez mais.
Passo 9
Para fins práticos, podemos determinar quando o bolo estará muito próximo de
, por exemplo,
:
Subtraindo 70:
Dividindo por 230:
Tirando o logaritmo natural:
Calculando:
Resposta
Portanto, levará aproximadamente 28,6 minutos para o bolo resfriar até quase atingir a temperatura ambiente de
. Isso faz sentido intuitivamente, já que o bolo esfria rapidamente no começo e o ritmo de resfriamento diminui conforme se aproxima da temperatura ambiente.
Exercícios relacionados
Considere as curvas
dadas por
0 e
. Determine o produto escalar
e o produto vetorial
.
Encontre a solução geral de cada equação diferencial a seguir:
Resolva os problemas abaixo:
Encontre a solução geral de cada uma das EDO