A formulação matemática da lei empírica de Newton para o resfriamento/aquecimento de um objeto é dada pela equação diferencial linear de primeira ordem
em que é a temperatura do objeto para é a temperatura ambiente e é uma constante de proporcionalidade. Sabendo disso resolva o seguinte problema:
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é . Três minutos mais tarde, sua temperatura é . Quanto tempo levará para o bolo resfriar até a temperatura ambiente de ? A resposta está de acordo com sua intuição física? Caso não encontre um tempo exato, faça uma aproximação, utilize uma ferramenta computacional se necessário.

Passo 1

Então, a gente tem um bolo que foi retirado do forno com uma temperatura inicial de . Três minutos depois, a temperatura do bolo cai para . A gente quer descobrir quanto tempo vai levar para o bolo esfriar até a temperatura ambiente de . Vamos usar a lei de resfriamento de Newton, que nos ajuda a modelar como a temperatura de um objeto muda com o tempo em relação à temperatura ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que descreve o resfriamento:
Aqui, é a temperatura do bolo no tempo , é a temperatura ambiente ( ), e é uma constante que precisamos descobrir. Essa equação nos diz que a taxa de variação da temperatura do bolo é proporcional à diferença entre a temperatura do bolo e a temperatura ambiente.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, separamos as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para :
Podemos substituir por uma nova constante :

Passo 5

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar e . Quando , :
Então, a equação fica:

Passo 6

Sabemos que após 3 minutos ( ), a temperatura é :
Subtraindo 70 de ambos os lados:
Dividindo por 230:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos resolver para tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Então:
Calculando o valor:

Passo 8

Agora que temos , podemos usar a equação geral para encontrar o tempo quando :
Subtraindo 70 de ambos os lados:
Isso implica que:
No entanto, a função exponencial nunca atinge exatamente zero. Isso significa que, na prática, o bolo nunca atingirá exatamente a temperatura ambiente, mas se aproximará cada vez mais.

Passo 9

Para fins práticos, podemos determinar quando o bolo estará muito próximo de , por exemplo, :
Subtraindo 70:
Dividindo por 230:
Tirando o logaritmo natural:
Calculando:

Resposta

Portanto, levará aproximadamente 28,6 minutos para o bolo resfriar até quase atingir a temperatura ambiente de . Isso faz sentido intuitivamente, já que o bolo esfria rapidamente no começo e o ritmo de resfriamento diminui conforme se aproxima da temperatura ambiente.

Exercícios relacionados

Considere as curvas dadas por 0 e . Determine o produto escalar e o produto vetorial .
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Resolva os problemas abaixo:
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