Encontre a solução geral de cada uma das EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo homogênea de segunda ordem:
Isso significa que estamos lidando com uma equação que envolve a segunda derivada de
, a primeira derivada e o próprio
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o método das equações características, que é uma técnica bacana para resolver EDOs lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas derivadas.
aqui representa a derivada em relação a
. Então,
Nossa equação fica:
Passo 3
Agora, vamos usar o método das equações características. A ideia é supor que a solução
tem a forma de uma função exponencial,
, onde
é um número que vamos determinar.
Substituindo
na equação:
Isso resulta na equação característica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
:
Então, temos dois valores de
:
Passo 5
Com os valores de
encontrados, podemos escrever a solução geral da EDO. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
Substituindo
e
:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais ou de contorno.
Resposta
A solução geral da EDO é:
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Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de
para o qual a solução se aproxima muito do eixo
mas não o atravessa.
Encontre a solução geral de cada uma das EDO
Encontre a solução geral de cada equação diferencial a seguir:
Considere as curvas
dadas por
0 e
. Determine o produto escalar
e o produto vetorial
.