Encontre a solução geral de cada uma das EDO

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo homogênea de segunda ordem:
Isso significa que estamos lidando com uma equação que envolve a segunda derivada de , a primeira derivada e o próprio . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o método das equações características, que é uma técnica bacana para resolver EDOs lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas derivadas. aqui representa a derivada em relação a . Então,
Nossa equação fica:

Passo 3

Agora, vamos usar o método das equações características. A ideia é supor que a solução tem a forma de uma função exponencial, , onde é um número que vamos determinar.
Substituindo na equação:
Isso resulta na equação característica:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e :
Então, temos dois valores de :

Passo 5

Com os valores de encontrados, podemos escrever a solução geral da EDO. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
Substituindo e :
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais ou de contorno.

Resposta

A solução geral da EDO é:

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