Encontre a solução geral de cada equação diferencial a seguir:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Esse problema pertence ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente de segunda ordem e não-lineares. Para resolver, vamos precisar fazer algumas substituições inteligentes e aplicar técnicas de resolução de EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar essa equação fazendo uma substituição. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, vamos calcular as derivadas de
em relação a
:
Passo 3
Substituindo
,
e
na equação original:
Ficamos com:
Simplificando cada lado:
Esquerda:
Direita:
Então, a equação fica:
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
(supondo que
):
Rearranjando:
Passo 5
Vamos fazer outra substituição para simplificar a equação. Definimos:
Então,
, e a equação passa a ser:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem não-linear. Podemos resolver usando o método de Bernoulli.
Passo 6
A equação está na forma de Bernoulli:
Para resolver, fazemos a substituição:
Calculando a derivada de
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, temos uma equação linear em
:
Calculamos o fator integrante (FI):
Multiplicando toda a equação pelo FI:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por
:
Lembrando que
, temos:
Passo 9
Agora, lembrando que
, integramos para encontrar
:
Fazendo frações parciais:
Integrando termo a termo:
Passo 10
Finalmente, lembrando que
, substituímos
:
Podemos simplificar combinando as constantes:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Encontre o valor de
para o qual a solução se aproxima muito do eixo
mas não o atravessa.
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dadas por
0 e
. Determine o produto escalar
e o produto vetorial
.
A formulação matemática da lei empírica de Newton para o resfriamento/aquecimento de um objeto é dada pela equação diferencial linear de primeira ordem
em que
é a temperatura do objeto para
é a temperatura ambiente e
é uma constante de proporcionalidade. Sabendo disso resolva o seguinte problema:
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é . Três minutos mais tarde, sua temperatura é
. Quanto tempo levará para o bolo resfriar até a temperatura ambiente de
? A resposta está de acordo com sua intuição física? Caso não encontre um tempo exato, faça uma aproximação, utilize uma ferramenta computacional se necessário.
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é