Encontre a solução geral de cada equação diferencial a seguir:
  1. x^2 * y * y'' = (y - x * y')^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Esse problema pertence ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente de segunda ordem e não-lineares. Para resolver, vamos precisar fazer algumas substituições inteligentes e aplicar técnicas de resolução de EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar essa equação fazendo uma substituição. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, vamos calcular as derivadas de em relação a :

Passo 3

Substituindo , e na equação original:
Ficamos com:
Simplificando cada lado:
Esquerda:
Direita:
Então, a equação fica:

Passo 4

Dividindo ambos os lados por (supondo que ):
Rearranjando:

Passo 5

Vamos fazer outra substituição para simplificar a equação. Definimos:
Então, , e a equação passa a ser:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem não-linear. Podemos resolver usando o método de Bernoulli.

Passo 6

A equação está na forma de Bernoulli:
Para resolver, fazemos a substituição:
Calculando a derivada de :
Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, temos uma equação linear em :
Calculamos o fator integrante (FI):
Multiplicando toda a equação pelo FI:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Multiplicando por :
Lembrando que , temos:

Passo 9

Agora, lembrando que , integramos para encontrar :
Fazendo frações parciais:
Integrando termo a termo:

Passo 10

Finalmente, lembrando que , substituímos :
Podemos simplificar combinando as constantes:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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