Resolva os problemas abaixo:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, do tipo linear. Para resolvê-la, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos da equação. Podemos reescrever a equação na forma padrão:
onde
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Portanto, podemos escrever:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, isolamos
para obter a solução geral da equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
A formulação matemática da lei empírica de Newton para o resfriamento/aquecimento de um objeto é dada pela equação diferencial linear de primeira ordem
em que
é a temperatura do objeto para
é a temperatura ambiente e
é uma constante de proporcionalidade. Sabendo disso resolva o seguinte problema:
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é . Três minutos mais tarde, sua temperatura é
. Quanto tempo levará para o bolo resfriar até a temperatura ambiente de
? A resposta está de acordo com sua intuição física? Caso não encontre um tempo exato, faça uma aproximação, utilize uma ferramenta computacional se necessário.
Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é
Considere as curvas
dadas por
0 e
. Determine o produto escalar
e o produto vetorial
.
Encontre a solução geral de cada uma das EDO
Resolva os seguintes PVI(b)
;