Determine o domínio da função G(t) = (ln(t), 1/raiz(2 - t^2), cos(t))

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial e precisamos determinar o domínio dessa função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais cada componente da função está bem definida. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função individualmente.

Passo 2

Primeiro, olhemos para . A função logaritmo natural, , só está definida quando . Isso porque o logaritmo de números negativos ou zero não existe nos números reais.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: . Para que essa expressão seja válida:
  1. O denominador deve ser diferente de zero.
  2. O que está dentro da raiz quadrada, , precisa ser maior que zero para que a raiz seja real.
Então, temos:
Portanto, deve estar entre e . Mas, lembrando que do primeiro passo, também precisa ser maior que zero.

Passo 4

Por último, a função está definida para todos os valores reais de , então não impõe nenhuma restrição adicional ao domínio.

Passo 5

Agora, juntando todas as condições:
  • De :
  • De :
Como precisa satisfazer ambas as condições, o domínio final será a interseção dessas duas restrições.

Resposta

O domínio da função é , ou seja, .

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