Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: © Dada a função f(x, y) = x^2 + x*y + y^2 e a restrição x - y = 1, determine os pontos de máximo e mínimo usando o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de otimização usando o método dos multiplicadores de Lagrange. A gente tem a função e uma restrição . Nosso objetivo é encontrar os pontos de máximo e mínimo dessa função respeitando essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos configurar o que é o método dos multiplicadores de Lagrange. Basicamente, ele nos ajuda a encontrar os valores máximos ou mínimos de uma função sujeita a uma restrição. Fazemos isso criando uma nova função chamada de Lagrangiana, que combina a função original e a restrição multiplicada por um multiplicador, geralmente representado por .

Passo 3

Então, nossa Lagrangiana vai ser:
Onde e . Substituindo, temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a , e , e igualar a zero:

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da equação 3, podemos expressar em termos de :

Passo 6

Substituindo na equação 1:

Passo 7

Agora, substituindo na equação 2:

Passo 8

Temos agora duas expressões para :
Igualando as duas expressões:

Passo 9

Com , substituímos na equação :

Passo 10

Agora, sabemos que e . Esse é o ponto que pode ser máximo ou mínimo. Vamos verificar substituindo na função :

Resposta

O ponto de mínimo da função sujeito à restrição é com valor mínimo .

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