Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: © Dada a função
e a restrição
, determine os pontos de máximo e mínimo usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de otimização usando o método dos multiplicadores de Lagrange. A gente tem a função
e uma restrição
. Nosso objetivo é encontrar os pontos de máximo e mínimo dessa função respeitando essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos configurar o que é o método dos multiplicadores de Lagrange. Basicamente, ele nos ajuda a encontrar os valores máximos ou mínimos de uma função sujeita a uma restrição. Fazemos isso criando uma nova função chamada de Lagrangiana, que combina a função original e a restrição multiplicada por um multiplicador, geralmente representado por
.
Passo 3
Então, nossa Lagrangiana
vai ser:
Onde
e
. Substituindo, temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a
,
e
, e igualar a zero:
Passo 5
Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da equação 3, podemos expressar
em termos de
:
Passo 6
Substituindo
na equação 1:
Passo 7
Agora, substituindo
na equação 2:
Passo 8
Temos agora duas expressões para
:
Igualando as duas expressões:
Passo 9
Com
, substituímos na equação
:
Passo 10
Agora, sabemos que
e
. Esse é o ponto que pode ser máximo ou mínimo. Vamos verificar substituindo na função
:
Resposta
O ponto de mínimo da função
sujeito à restrição
é
com valor mínimo
.
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Determine o domínio da função
Considere as curvas
dadas por
e
. Determine o produto escalar
e o produto vetorial
.