Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(1) A hipérbole de equação -x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! A gente tem uma hipérbole com a equação . Nosso objetivo é escrever equações paramétricas para essa hipérbole e indicar a orientação dela. Para isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica e entender como parametrizar curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da equação que temos: . Essa é a equação geral de uma hipérbole. A presença dos termos e nos mostra que essa hipérbole está centralizada na origem (0,0) e tem uma orientação específica.

Passo 3

Agora, precisamos identificar a orientação da hipérbole. A equação está na forma , que é equivalente a . Isso indica que a hipérbole tem seu eixo principal no eixo y, ou seja, sua orientação é vertical. Diferente da hipérbole horizontal, onde o eixo principal está no eixo x.

Passo 4

Para escrever as equações paramétricas, vamos usar um parâmetro, geralmente representado por (teta). Para hipérboles com orientação vertical, as equações paramétricas são:
Explicando rapidinho: é a função secante, que é , e é a tangente de . Essas funções nos ajudam a variar os valores de e de acordo com o parâmetro , cobrindo todos os pontos da hipérbole.

Passo 5

Então, resumindo:
  • A hipérbole tem orientação vertical porque o termo está positivo na equação.
  • As equações paramétricas que representam essa hipérbole são:

Resposta

As equações paramétricas para a hipérbole são:
A orientação da hipérbole é vertical.

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